Ungleichung und Konvergenz: 1.1) (1+1/n)n ≤ ∑ k=0 bis n (1/k!); 1.2) ∑ k=0 bis n (1/k!) < 3

Question

Ich stehe leider bei den folgenden Aufgaben etwas auf dem Schlauch und hoffe irgendwer weiß es verständlich zu erklären oder auch einfach nur adäquat zu lösen.

1) Zeigen Sie, dass ∀n ≥ 1 ∈ ℕ gilt
1.1) (1+1/n)ⁿ ≤ ∑ k=0 bis n (1/k!)
1.2) ∑ k=0 bis n (1/k!) < 3

2.1) Zeigen Sie, dass für n ∈ N gilt 0,9 ... 9 } n-mal = ∑ k=1 bis n (9*(1/10)^k) = 1-(1/10)ⁿ
2.2) Zeigen Sie, dass die Folge (a_n)_n∈N, gegeben durch a_{n =} 1-(1/10)ⁿ gegen 1 konvergiert

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen, danke schonmal :)
 

Comments

zu 1.1. kannst du dem Link bei https://www.mathelounge.de/12292/schnellste-berechnung-eulersche-kettenbruchentwicklung
folgen. Oder bei ähnlichen Fragen (unten) reinschauen.

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Erstmal herzlichen Dank für den Hinweis, war ja irgendwie klar das dieses verfluchte e mich wieder heimsuchen wird ;)

Hilft aufjedenfall weiter, aber wie beweise ich Mathematisch, dass ∑ k=0 bis n (1/k!) schneller gegen e konvergiert als (1+1/n)n ? bzw. beide haben aufgrund der auflage n ≥ 1 die selben "Grenzwerte" von daher ist mir leider noch nicht ganz klar wie ich Mathematisch richtig zeigen soll das (1+1/n)ⁿ ≤ ∑ k=0 bis n (1/k!), auch wenn es rein logisch natürlich leicht nachvollziehbar ist.

 

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Tipp: Zeige per Induktion über  n, dass für  0 ≤ k ≤ n  gilt: \(\binom nk\leq\frac{n^k}{k!}\). Anschließend wende den binomischen Lehrsatz auf \(\left(1+\frac1n\right)^n\) an.

Answer 1

zu 1.1. kannst du dem Link bei https://www.mathelounge.de/12292/schnellste-berechnung-eulersche-kettenbruchentwicklung
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Beachte nun noch den Tipp von Anonym vom 30.Oktober. Damit kommst du bestimmt zum gewünschten Beweis.