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Mein Problem wäre diese Aufgabe. Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen!


Beweisen Sie für reelle Zahlen a≠b die Ungleichung

e(a+b)/2<1/2*ea + 1/2*eb.

Deuten Sie diese Ungleichung geometrisch.

Mein erster Schritt war es die Ungleichung mit 2/e(a+b)/2 zu multiplizieren aber dann komm ich irgendwie nicht mehr weiter..

Danke schon im Voraus! Lg

von

1 Antwort

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e(a+b)/2   <1/2*ea + 1/2*eb  

ea/2 * eb/2 < ( ea + eb  ) / 2

wurzel( ea * eb ) <  ( ea + eb  ) / 2  


Das ist die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel
für den Spezialfall der Zahlen ea und eb
Beweis
 ( ea/2 - eb/2  )^2  > 0 wenn a ungleich b, weil Quadrate dann immer positiv.
binom. Formel
 ea -2*ea/2 * eb/2  + eb > 0
 ea   + eb > 2*ea/2 * eb/2    | :2
1/2*ea + 1/2*eb   >  ea/2 * eb/2   = e(a+b)/2  q.e.d.
von 152 k

Achja! Danke für die super Antwort!

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