Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element x ∈ G gibt, so dass....

Question

Aufgabe:

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element x ∈ G gibt, so dass G = {xⁿ | n ∈ Z}
gilt. Zeigen Sie:

Ist |G| = ∞, so ist G isomorph zu Z.
Im Falle |G| = m für ein m ∈ N ist G isomorph zu Zm.

Untergruppen zyklischer Gruppen sind zyklisch. Bestimmen Sie alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir komplett das Verständnis für diese Aufgabe ich weiß gar nicht wie in Anfangen soll bzw. kann ich aus dem script meiner Vorlesung leider auch ncihts brauchbares entnehmen. 

Die Begriffe isomorph und zyklisch sind mir zwar klar aber dennoch steh ich auf dem Schlauch

Answer 1

Ist |G| = ∞, so ist G isomorph zu Z.
Du must nur einen Isomorphismus angeben.

Wenn x so ein Element ist, dessen Potenzen ganz G ergeben

dann gibt es zu jedem y ein n ∈ Z  mit  x^n = y

Die Abbildung

f :  G  ---->  Z

    y=x^n → n

ist der gesuchte Isomorphismus.

Comments

Danke für die schnell Antwort. 

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Für meinen letzen fall  (Untergruppen )habe ich nun folgendes Formuliert.

mZ UNtergruppe von Z mit einer natürlichen Zahl m∈ N und für m≠ 0 isomorph zu Z

von jedem positiven Teiler d von n hat die  Gruppe Z / nZ genau eine Untergruppe der Ord. d, nämlich die von dem Element n/d erzeugte Untergruppe {kn/d |k=0,...,d-1}.

Zum Fall |G| = m für ein m ∈ N ist G isomorph zu Zm bin ich leider nach wie vor nicht weiter gekommen. Evntuell muss ich da ein gegen Beweis machen aber ich muss sagen da bin cih echt überfragt

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Das ist der entsprechende Isomorphismus wie bei a.

(Dass das wirklich einer ist, musst du natürlich noch

zeigen.)

Und im Falle |G|=m hast du also ein erzeigendes Element x

und die Potenzen von x ( also von x^1  bis x^n ) sind die

Gruppenelemente.  Dann kannst du doch einfach

Exponent -1   zuordnen und du hast als Bildbereich Zm.