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Hey Leute,

da stecke ich schon wieder bei einer Aufgabe fest, die es wirklich in sich hat:

Sind G1 und G2 Gruppen, so lässt sich auf dem Produkt G1×G2 die folgende Verknüpfung definieren,

(g1,g2)·(g'1,g'2):=(g1g'1,g2g'2) ,

wobei g1,g'1∈G1 und g2,g'2∈G2 beliebige Elemente sind

 

a) Beweisen Sie, dass G1×G2 mit dieser Verknüpfung wieder eine Gruppe bildet.

b) Zeigen Sie, dass die Gruppe ℤ×ℤ nicht zyklisch ist. Sind die Gruppen ℤ/4ℤ und ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ isomorph?

 

Ich habe auf Anhieb wirklich überhaupt keine Idee, ich hoffe die kommt gleich noch und ihr könnt mir auch weiterhelfen.

 

Danke schonmal

 

 
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Sind Gund GGruppen, so lässt sich auf dem Produkt G1×Gdie folgende Verknüpfung definieren,

(g1,g2)·(g'1,g'2):=(g1g'1,g2g'2) ,

wobei g1,g'1∈G1 und g2,g'2∈G2 beliebige Elemente sind

 

a) Beweisen Sie, dass G1×G2 mit dieser Verknüpfung wieder eine Gruppe bildet.

 

Zu zeigen (Gruppenaxiome):

1. ( G1×G2, ) ist abgeschlossen. [ ich schreibe  als * und setze die Indizes nicht 'tief']

2. * ist assoziativ

3. es gibt ein neutrales Element

4. es gibt Inverse Elemente

 

Voraussetzung: Gruppenaxiome gelten für (G1,Multiplikation1) und (G2, Multiplikation2)

Beweis:

 

1. ( G1×G2, ) ist abgeschlossen. [ ich schreibe  als * und setze die Indizes nicht 'tief', ausser sie sind durch Kopie schon so]

Seien (g1,g2) (g'1,g'2) Elemente von G1 x G2 , so gilt g1 E G1, g'1 E G1 gE G2, g2' E G2. 

Da Mult. in G1 und G2 jeweils abgeschlossen ist, gilt g1g'E G1,g2g2' E G2 ,

Also (g1,g2)·(g'1,g'2):=(g1g'1,g2g'2) E G1 x G2 q.e.d.

2. * ist assoziativ

Seien (a,b),(c,d),(e,f) E G1 x G2

So gilt ((a,b)*(c,d))*(e,f) = [def. *]

(ac,bd)*(e,f) = [def. *]

(ace,bdf) =         [Assoziativität in G1 resp. G2]

(a(ce),b(df)) =    [def. *]

(a,b)*(ce,df) =  [def. *]

(a,b)*((c,d)*(e,f))         q.e.d.

3. es gibt ein neutrales Element

Sei (a,b) E G1 x G2 und seien e1 und e2 die neutralen Elemente von G1 resp. G2

Ich zeige, dass (e1,e2) das neutrale Element von (G1 X G2, *) ist.

Beweis

(e1,e2)*(a,b) =  [def. *]

(e1 a , e2 b) = [G1 und G2 sind Gruppen]

(a,b)

und

(a,b)*(e1,e2) =  [def. *]

(a e1, b e2) =  [G1 und G2 sind Gruppen]

(a,b)

q.e.d.

4. es gibt Inverse Elemente

 

Sei (a,b) E G1 x G2 

Das  G1 und G2  Gruppen sind existieren a-1 und b-1 in G1 resp. G2

Ich zeige, dass (a-1, b-1) das zu (a,b) gehörige Inverse Element ist.

Beweis:

(a,b) * (a-1 , b-1)  = [def. *]

(a a-1 ,b b-1) = [Eigenschaft von G1 resp. G2]

(e1, e2)

 

(a-1,b-1) * (a , b)  = [def. *]

(a-1 a ,b-1 b) = [Eigenschaft von G1 resp. G2]

(e1, e2)

q.e.d.

b) Nur mal ein Anfang. Ich weiss nicht genau welche Eigenschaften von Z als bekannt vorausgesetzt werden können

Wegen der Invertierbarkeit kommt als Gruppenverknüpfung auf Z nur die Addition in Frage.

(Z, +) ist eine Gruppe.

Gemäss a) ist (Z x Z, *) ebenfalls eine Gruppe. Definition der Verknüpfung:

(g1,g2)*(g'1,g'2):=(g1 +g'1,g+g'2

Um zu zeigen, dass das nicht zyklisch ist, muss man zeigen resp. wissen, dass die Addition in Z nicht zyklisch ist.

Achtung: Addition sieht hier plötzlich so aus wie Multiplikation. Wähle ein besseres Zeichen!

normale Schreibwiese a + a = 2a       in *-Schreibweise a*a = a^2

a + nb = a (n E IN) geht nicht falls b ≠ 0, deshalb nicht zyklisch

zu: Sind die Gruppen ℤ/4ℤ und ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ isomorph?

Z modulo 4Z hat die Elemente (0,1,2,3). 

ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ  hat die Elemente von ((0,1) X (0,1), *). Also auch 4 Elemente.

Nun muss man schauen, was passiert, wenn man die Elemente miteinander verknüpft.

Je 4*4 Berechnungen. und dann die Gruppenstrukturen vergleichen. z.B. auf Zyklen untersuchen.

Ein Anfang für die Verknüpfungstabelle von ℤ/2ℤ×ℤ/2ℤ

(0,0)*(0,0)=(0+0,0+0) =(0,0)

(0,1)*(0,0)=(0+0,1+0)=(0,1) offensichtlich ist (0,0) das neutrale Element bez. Verknüpfung

Anmerkung: * in dieser Gruppe entspricht aber nicht der Addition im binären Zahlensystem, denn

(0,1)+(0,1) = (0+0, 1+1)= (0,0)

und

(1,0) + (1,0) = (0,0) sowie (1,1) + (1,1) = (0,0)

Binär modulo 4 gerechnet wäre 01 + 01 = 10 und 10 + 10 = 0

usw.

Zur Verknüpfungstabelle von Z modulo 4Z

0+0 = 0

0+1 = 1                  0 ist das neutrale Element

0+2=2

0+3=3

1+0=1

1+1=2

1+3=0              

2+3=1

3+3=2

Zyklen

a+0=a                      in Verknüpfungsschreibweise 0^1 = e

a+1+1+1+1 = a                                                            1^4=e

a+2+2 = a                                                                      2^2=e

a+3+3+3 +3 = a                                                            3^4=e

 

 

 * in dieser Gruppe heisst:

(0,1)+(0,1) = (0+0, 1+1)= (0,0)

und

(1,0) + (1,0) = (0,0)

sowie

(1,1) + (1,1) = (0,0)

In Verknüpfungsschreibweise

(0,0)^1 = e

(0,1)^2 = e

(1,0)^2 = e

(1,1)^2 = e

Somit sind hier keine Zyklen der Länge 4 vorhanden. Also sind Z/4Z und Z/2Z x Z/2Z bez. * nicht isomorph 

PS. Ist etwas ein Gewurg; ich weiss. 

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