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Aufgabe:

Sei (G, ·) eine Gruppe. Angenommen, die einzigen Untergruppen von G sind {e} und
G. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist, d.h. G ist von einem Element erzeugt.


Problem/Ansatz:

Ich habe ein großes Verständnisproblem, wie man bei dieser Aufgabe vorgeht. Eine Ansatz habe ich, ich nehme an ∃A⊂G mit |A| ≥ 2 so dass G = <A> und  ∀A'⊂G mit |A'| = 1 gilt <A'>⊆G. Also kurz gefasst G ist nicht Zyklisch, aber ich will implizieren, dass G,{e} nicht einzige Untergruppen sind und damit zu einer Kontraposition bringen. Ich komme aber nicht auf den Schritt, wie man das eigentlich zeigt, da dass Verständnis von erzeugenden Mengen mangelhaft ist.

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Wähle doch folgenden Ansatz.

Sei a ein Element von G. Dann betrachte die von a erzeugte Untergruppe <a>

Da das eine Untergruppe ist gilt nach Voraussetzung

<a>={e} oder <a> = G

Das sind immerhin die einzigen UG von G.

Jetzt noch argumentieren wie a im Fall G={e} und G≠{e} jeweils gewählt werden muss dass <a>=G gilt. Dann bist du fertig.

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Würde das zeigen, dass G selbst zyklisch ist ? Ich verstehe da den Ansatz nicht. Wie soll man a wählen sodass <a> = G ist ?

Wenn du ein a mit <a>=G findest hast du gezeigt, dass G zyklisch ist.

Falls G={e}. Wähle a=e, dann ist

<a>={e}=G.

Falls G≠{e} Wähle a≠e (existiert warum?), Dann ist

<a>≠{e} (warum?)

Da nach Voraussetzung entweder <a>={e} oder <a>=G gilt, muss also <a>=G gelten.

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