Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume. Zeige: (Ω,PB) mit PB(A) = P(A∣B) für alle A ⊆ Ω wiederum ….

Question

Hallo die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie: Ist (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und B ⊆ Ω ein Ereignis mit P(B) > 0, so ist (Ω,PB) mit PB(A) = P(A∣B) für alle A ⊆ Ω wiederum ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.

Idee: meine Idee wäre jetzt die axiome für einen diskreten W-Raum.

Aber da dies allgemein folgen soll, weiß ich nicht wie ich das beweisen kann

Answer 1

Idee: meine Idee wäre jetzt die axiome für einen diskreten W-Raum.

Die Idee ist gut. So würde ich das auch machen.

Aber da dies allgemein folgen soll, weiß ich nicht wie ich das beweisen kann

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, in welcher Weise dir deine Idee nicht allgemein genug erscheint.

Zeige:

1. Ω ist höchstens abzählbar
2. P_B(∅) = 0
   
3. P_B(Ω) = 1
   
4. P_B(∪_i∈IA_i) = ∑_i∈I P_B(A_i) falls I eine höchstens abzählbare Indexmenge und (A_i)_i∈I eine Familie von paarweise disjunkten Ereignissen ist.
   

Punkt 1 sollte klar sein.

Die Punkte 2 und 3 bekommst du aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Tatsache, dass (Ω, P) ein diskreter W-Raum ist (also dessen Axiome erfüllt).

Punkt 4 ist im wesentlichen auch eine einfache Anwendung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Tatsache, dass (Ω, P) ein diskreter W-Raum ist. Wenn (A_i)_i∈I eine Familie von paarweise disjunkten Ereignissen ist, was weißt du dann über (A_i∩B)_i∈I?