Ist die Folge alternierend, monoton oder beschränkt?

Question

Wie muss ich hier vorgehen?

Ist die Folge (a_{n}) mit

$$ a _ { n } = - \frac { 4 ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { 2 } + 2 n } , \quad n = 1,2,3 \dots $$

alternierend, monoton oder beschränkt?

Answer 1

Berechne als Eigenleistung mal die ersten 5 Folgenglieder. Das sollte genügen, um das Vorhandensein von 2 der 3 Eigenschaften zu erkennen.

Comments

also, die folgenglieder wechseln ihre vorzeichen mit jedem schritt -> alternierend.

monoton fällt  dementesprechend auch weg.

an1= - 4/3

an2= 4/8

an3 = -4/15

an4 = 4/24

usw...

wie erkenne ich nun die folge beschränkt ist oder nicht?

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Abgesehen vom Vorzeichenwechsel ist der Zähler immer konstant, während der Nenner beständig wächst. In welche Richtung entwickeln sich solche Brüche?

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ins negative da sie immer kleiner werden? ist das also auch ein monotones wachstum?

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Unfug.

Die Brüche sind abwechselnd positiv und negativ.

Ein Bruch, dessen Zähler (oder wenigstens der Betrag des Zählers) konstant ist und dessen Nenner immer größer und letztendlich unendlich groß wird, geht gegen 0.

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also ist sie alternierend und beschränkt da sie gegen null läuft?

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Ja. Das kleinste Folgenglied ist das erste (somit eine untere Schranke)

und das größte Folgenglied ist das zweite (somit eine obere Schranke).

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Das kleinste Folgenglied ist das erste

Das trifft nicht zu!