Hey du kannst das Integral umschreiben
$$ \int \frac{1}{1+x^3},\ dx = \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \, dx $$
Wende die Partialbruchzerlegung an:
$$ \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1} $$
Erweitern umstellen und Koef VGL:
$$ \frac{(A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)}{x^3+1} $$
LGS
A + B = 0
-A + B + C = 0
A + C = 1
LGS hat die Lösungen
A = 1/3
B = -1/3
C = 2/3
Einsetzen:
$$ \frac{1/3}{x+1} + \frac{(-1/3)x+(2/3)}{x^2-x+1} $$
Dann integrierst du nur noch
$$ \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+1} \, dx $$
und
\( \int \frac{(-1 / 3) x+(2 / 3)}{x^{2}-x+1} d x=-\frac{1}{3} \int \frac{x-2}{x^{2}-x+1} \mathrm{d} x \)
