Extremwert. Suche den neuen Rechtecksquerschnitt mit maximalem Flächeninhalt

Question

Längs eines Holzbalkens mit den Maßen h und b ist in Form einer Normalparabel herausgerissen. Gesucht ist der neue Rechteckquerschnitt mit maximalem Flächeninhalt. Dazu soll man noch die Maße von h* und b* bestimmen.

Bitte helfen:

Hauptbedingung: A = b* x h*

Nebenbedingung: Punkt P (max b* und h*) liegt auf dem Parabel

Parabel:

y = ax² + bx + c

=>  4 = a (0)² + b (0) + c

=> c = 4

=> y = ax² + bx + 4

Ich komme nicht weiter :(

Comments

Die NB umformen, dass eine Variable alleine steht und danach in die HB einsetzen. In dieser Zielfunktion bestimmst du den Extremwert. Wenn du die Variable gelöst hast, setzt du diese in die NB ein, um die 2. zu erhalten.

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Es gibt dann zu viele unbekannten

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Hast du exakt abgezeichnet?

Du hast 2 bei 2 Häuschen und 4 bei 5 Häuschen.

Sollte die Zeichnung massstäblich sein, kannst du die Länge und Breite der gegebenen grossen Holzplatte ablesen.

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Man kann nichts ablesen

Answer 1

Das zu optimierender Rechteck hat den Flächeninhalt A_b,h(x)=(b-x)(h-4+x²). Nullstellen der ersten Ableitung sind Extrema. b und h sind Parameter (bekannt?).

Comments

ne die beiden sind nicht bekannt

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Nullstellen der ersten Ableitung sind Extrema.

So einfach ist die Sache allerdings nicht !

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Man kann nichts ablesen, es ist eine Skizze, welche ich gezeichnet habe. Oh man hey, wie geht die Aufgabe :(

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Entweder du akzeptierst eine Lösung mit Parametern wie die Lösung von mathef

oder du misst genau nach. Möglicherweise ist b = 2*2 und h = 4*2 . Dann sind nur noch b* und h* unbekannt.

Answer 2

Wenn das ne Normalparabel ist und bei 2 zur Seite 4 nach oben geht,

dann ist der Punkt auf der Rechtecksseite der Scheitelpunkt und

wenn man die untere linke Ecke des Rechtecks als Koordinatenursprung nimmt,

hat sie die Gleichung   y = x^2 + h-4

und das neue Rechteck hat die Seiten (b-x) und h-y also die

Fläche  A(x) =   (b-x)*(h-y) = (b-x)*(h-(x^2 + h-4) = (b-x)*(4-x^2)

= x^3 -bx^2 - 4x + 4b  .

 A ' (x) = 3x^2 - 2bx - 4

Das gibt 0 für x= (b +√(b^2 +12)) /3  . (Andere Lösung negativ.)

Kommt mir was krumm vor, rechne lieber man nach.