Gegeben ist folgende Aufgabe zu der ich den Grenzwert berechnen soll:
$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} $$
Ist meine Beweisführung schlüssig? Wenn nicht kann einer dann posten was ich ändern sollte?
$$(a_k)_{k\in\mathbb{N}}:= \sqrt[k]{2^k+5^k} \\ (\sqrt[1]{2^1+5^1}=7;\sqrt[2]{2^2+5^2}\approx 5,3851;\sqrt[3]{2^3+5^3}\approx 5,1044;\sqrt[4]{2^4+5^4}\approx 5,0316) \\[10pt] \text{Behauptung: } \lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^k+5^k}=5 \\\text{Beweis: } \\\text{ Sei ε>0 wähle dann }n_0: n_0 \leq 5 \forall \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε : \forall k \gt n_0 \\\Longrightarrow \vert\sqrt[k]{2^k+5^k}-5\vert \lt ε \Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k}-5 \lt ε \\\Longleftrightarrow \sqrt[k]{2^k+5^k} \lt ε+5 \\[10pt]\text{Beweis 1.1:} \\\text{Durch den Definition des binomischen Lehrsatzes lässt sich folgendes umschreiben: } \\\sqrt[k]{2^k+5^k}=({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{k}\\0 \end{pmatrix}*(2^k)^{\frac{1}{k}}*(5^k)^{\frac{1}{k}}+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}}= 1*2*5+..... \\({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \\\text{Einsetzen in den Hauptbeweis: } \\\Longrightarrow ({2^k+5^k})^{\frac{1}{k}} \gt 10 \lt ε+5 \\\Longleftrightarrow 10-5\lt ε \\\Longleftrightarrow 5\lt ε \\\Longrightarrow n_0 \leq 5\lt ε$$
