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Ich habe zwar den Grenzwert berechnet, aber ich weiß nicht wie ich das mit dem Epsilon Delta Kriterium beweisen kann?

$$ \lim_{n\to\infty}\frac { 3n-2 }{ n+2 }=\lim_{n\to\infty}\frac { n(3-\frac { 2 }{ n } )}{ n(1+\frac { 2 }{ n } )}=\lim_{n\to\infty}\frac { 3-\frac { 2 }{ n } }{ 1+\frac { 2 }{ n } }=3 $$

Ich frage dies nur aus Interesse :)

von 7,1 k

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Die Definition von Folgengrenzwerten (mit dem Epsilon) sagt aus, dass (im Falle der Konvergenz) für jedes \(\varepsilon > 0\) ab einem gewissen Folgeglied alle Glieder der Folge um höchstens \(\varepsilon\) vom Grenzwert abweichen, d.h. \(|a_n - \ell| < \varepsilon \). Beim Beweis mit dem Epsilonkriterium muss man konkret angeben, ab welchem Folgeglied man in dieser Epsilon-Umgebung bleibt für gegebenes Epsilon. Dafür muss man ein \(N\) finden (welches natürlich von Epsilon abhängt), sodass für alle \(n>N\) (alle Folgeglieder die nach \( a_N\) kommen) folgendes gilt: \(|a_n - \ell | < \varepsilon \)

Wie findet man so etwas? Naja wir fangen wie folgt an: Sei \( \varepsilon > 0\). Wir nehmen einfach irgendein Epsilon und suchen jetzt wie gesagt das entsprechende \(N\). Dazu müssen wir unseren gegebenen Term, in diesem Fall \( | \frac{3n-2}{n+2} - 3 | \), abschätzen. Wir wollen ihn derart abschätzen, dass wir ein monoton fallendes Produkt haben. Warum wollen wir gerade das? Damit wir die Voraussetzung \(n> N\) nutzen können, um den Term nach oben zu beschränken (monoton fallend heißt, dass der Term für alle n>N kleiner ist als für N). Dann können wir \(N\) gerade so wählen, dass Epsilon rauskommt. In deinem Beispiel sieht das so aus:

$$  \left| \frac{3n-2}{n+2} - 3 \right| = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3(n+2)}{n+2} \right|  = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3n+6}{n+2} \right| = \left| \frac{-8}{n+2} \right| \underset{Betrag}{=} \frac{8}{n+2} \underset{\text{Nenner kleiner machen}}{<} \frac{8}{n} \underset{n>N}{<} \frac{8}{N} \underset{\text{Wähle }N=8\varepsilon^{-1}}{=} \varepsilon.$$


Und das wars auch schon.

von 1,7 k
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In meiner Rechnung solltest du immer no denken, statt n und Epsilon statt E.

Sei E> 0 gegeben.

|(3n-2)/(n+2) - 3| < E,


|((3n-2)-3(n+2))/(n+2) | < E,
|(3n-2-3n-6))/(n+2) | < E,
|(-8)/(n+2)| < E, da n gross und pos.
8/(n+2) < E
8/E < n+2
8/E  - 2 < n
n=no kann nun als gerundete Zahl 8/E - 2 festgelegt werden.
==> Für jedes N >no
gilt | a_(N) - 3| < E
Daher ist 3 der Grenzwert von (a_(n))_(n Element N).
von 154 k
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Vermutlich meinst du das Epsilon-Kriterium.
Sei \(\epsilon>0\) vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\frac8\epsilon-2\) ist.
Dann gilt für alle \(n>N\)$$\left\vert\frac{3n-2}{n+2}-3\right\vert=\frac8{n+2}<\frac8{\frac8\epsilon-2+2}=\epsilon.$$

von

Mich interessiert das ebenso, könntest du das noch schrittweise ausführen, also auch für die, die das ε-Kriterium gerade erst kennenlernen?

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