Kurvenschar mit Exponentialfunktion f_{a}(x)=a^{2}x-e^{ax } a>0

Question

Aufgabe:

…Es gibt einige Graphen der Kurvenschar f_a(x)=a²x-e^ax                  a>0

Im folgenden sollen einige Eigenschaften dieser Schar untersucht werden.

a) Skizzieren Sie den Graphen von f₁(x) = x - e^x  durch additive Überlagerung der Graphen der beiden Teilterme g(x) =x und h(x) = -e^x .

b)Bestimmen Sie die 1. Ableitung und 2. Ableitung vo f_a(x). Untersuchen Sie anschließend auf Extrema und Wendepunkte

c) Welche Scharkurve f_a besitzt einen direkt auf der x-Achse liegenden Extremalpunkt?

d) Gesucht ist die allgemeine Stammfunktion F_a von f_aWelche Stammfunktion von f₁ geht durch den Punkt (0/1)?

Problem/Ansatz:

…Also bei der a) komme ich überhaupt nich weiter, aber das liegt eher daran dass ich mir unter additiver Überlagerung nicht wirklich viel Vorstellen kann. Ich habe mir zu g(x) und h(x) im Interval (-3;3) eine Wertetabelle angelegt und somit die x und y- Werte in diesem Bereich herausgefunden. Nur was fange ich mit denen an? Also wegen dem Wort additiver Überlagerung würde ich mal behaupten etwas plus zu nehmen, aber was genau? Ein Beispiel wäre nett

Bei der b) habe ich als 1. Ableitung = a²-ae^ax heraus und als 2.Ableitung = - a² e^ax

Man soll ja WP berechnen deswegen habe ich noch die 3. Ableitung gebildet => -a³e^ax (da bin ich mir sehr unsicher)

Für Extrema habe ich als x- Wert = ln(a)/a raus und y-Wert a(ln(a)-a)

Berechnung y-Wert: (x- Wert in fa(x)

a² * (ln(a)/a) - e ^{a * (ln(a)/a)} / Kürzen

a * ln(a) - a

Ich glaube da habe ich was falsch weis aber echt nicht was.

Bei dem Wendepunkt komme ich nicht voran:

0 = -a² e^ax

Da weiß ich nicht weiter e würde doch wegfallen da es ungleich null ist das geht in dem Falle doch aber nicht da der Parameter da drinnen enthalten ist?

die c und d bin ich noch nicht angegangen wäre zwar hilfreich dazu wenigstens den Lösungsweg zu bekommen, damit ich mich selbst korrigieren kann, ist aber nicht notwendig die a und b wären wirklich wichtig.

Vielen Dank an diejenigen die sich wirklich die Mühe geben das ganze zu lesen und darauf einzugehen XD

LG 

Answer 1

a)

Skizze:

~plot~ x; - e^x ; x - e^x ; x = -1;x=0;x=1;x=2;[[-4|4|-8|4]] ~plot~

Erklärung additive Überlagerung: An so vielen Stellen wie nötig die Funktionswerte addieren. (Blaue Strecken von der Kurve aus in die richtige Richtung (Vorzeichen beachten!) abtragen.

Answer 2

das sieht doch sehr gut aus:

deine Ableitungen sind richtig

Für Extrema habe ich als x- Wert = ln(a)/a raus und y-Wert a ( ln(a)-a )   (vgl. unten)
 
Berechnung y-Wert: (x- Wert in fa(x)

a² * (ln(a)/a) - e ^{a * (ln(a)/a)} / Kürzen

a * ln(a) - a

Ich glaube da habe ich was falsch weis aber echt nicht was.   nein! 

Bei dem Wendepunkt komme ich nicht voran:

0 = -a² e^ax     keine Lösung  →  keine Wendepunkte 

c)     die y-Koordinate des Extrempunkt muss 0 sein:

        a * ln(a) - a = 0     →  ln(a) = 1  →  a = e

d)   F_a,c(x)  =  - e^a·x/a + a^2·x^2/2 + 1/a + c

         F_a,c(0)  = - e^a·0/a + a^2·0^2/2 + 1/a + c  =  1       →   c = 1   

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang: Suchst du das hier https://www.mathelounge.de/496622/reihenwert-bestimmen-fur-die-reihe-n-1-1-2n-1-2 ?

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Hallo Lu, danke

kann der neue Fragesteller das überhaupt noch finden?

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Nachdem der wohl nicht verschoben wurde, sollte er das in seiner History noch sehen. Frage ihn doch mal mit einem Kommentar.