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Sei T:= { \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \) | a ∈ ℤ}


Wir bezeichnen mit ⊕ und ∗ die Matrizenaddition und -multiplikation und definieren α : ℤ → T, für alle z ∈ ℤ sei zα := \( \begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & z \end{pmatrix} \) . Sie dürfen wissen, dass (T, ⊕, ∗) ein Ring ist.

Zeigen Sie, dass α ein bijektiver Ringhomomorphismus von (Z, +, ·) nach (T, ⊕, ∗) ist!

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Ich schreib mal α(z) statt z^α.

Da du ja verwenden darfst, dass beides Ringe sind, musst du nur noch zeigen

Homomorphismus und bijektiv.

zu Homomorphismus :  Da musst du zeigen  α(x+y) =  α(x) ⊕ α(y)

und   α(x·y) =  α(x) * α(y)

also so: Seien x,y ∈ℤ

==>    α(x+y)   (nach def von   α  )

=  \( \begin{pmatrix} x+y & 0 \\ 0 & x+y \end{pmatrix} \)

Nach Def. von ⊕ ist das

=  \( \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \)   ⊕  \( \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} \)

=  α(x) ⊕ α(y)

entsprechend für  α(x·y) =  α(x) * α(y) .

 α ist Injektiv; Seien x,y ∈ℤ mit    α(x) * α(y)

==>    \( \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \)  =  \( \begin{pmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} \)

Nach der Def. der Gleichheit für Matrizen also  x=y .

surjektiv:   Sei X∈T. Dann gibt es nach Def. von T ein  a ∈ℤ mit

X= \( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \) ,

also X =  α(a) .

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