Lagrange, Potenzgesetze, Bruchgleichung

Question

Ich habe Schwierigkeiten mit der Arithmetik dieser Aufgabe

Gegeben ist folgende Funktion:

$$u = \sqrt { x y } + \lambda ( x + 2 y - 120 )$$ 

Dies soll x=60 und y=30 ergeben

Ich habe die Funktion erstmal folgendermaßen partiell abgeleitet:

$$u = \sqrt { x y } + x \lambda + 2 y \lambda - 120 \lambda$$

Partiell ableiten:

$$\begin{array} { l } { I : L _ { x } ^ { \prime } = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } y ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \lambda } \\ { I I : L _ { y } ^ { \prime } = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + 2 \lambda } \\ { I I I : L _ { \lambda } ^ { \prime } = x + 2 y - 120 } \end{array}$$

I und II nach λ umstellen:

I:

$$\begin{aligned} 0 & = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } y ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \lambda \quad -\lambda \quad |·(-1) \\ \lambda & = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } y ^ { \frac { 1 } { 2 } } \end{aligned}$$

II:

$$\begin{array} { l } { 0 = x ^ { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + 2 \lambda \quad | - 2 \lambda | :( - 2 ) } \\ { \lambda = \frac { x ^ { \frac { 1 } { 2 } } y ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } { 2 } } \end{array}$$

Leider komme ich auf kein richtiges Ergebnis bzw. ich bekomme etwas wie x = x und das kommt mir falsch vor.

Vielleicht habe ich falsch ableitet und falsch nach 0 umgestellt?

Answer 1

Beim Umstellen von I nach λ hast du ein "minus" vergessen    λ = - ……

Das würde ich dann einfach bei II einsetzen und umformen zu

x = 2y .

Damit in III   gibt    4y - 120 = 0 also   y = 30

und wegen x=2y dann   x = 60 .