Question

Seien U, V, W Vektoräume mit dim U = m, dim V = n, dim W = l und f : U → V , g : V → W
lineare Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) def(g ◦ f) ≥ def f und rg(g ◦ f) ≤ rg f.
(b) def(g ◦ f) ≥ deg g + m − n und rg(g ◦ f) ≤ rg g.
Hier bezeichnen def f and rg f den Defekt und Rang einer linearen Abbildung f.

Könnte mir jemand beim lösen dieser Aufgabe behilflich sein? Ich stehe komplett auf dem Schlauch:(

Answer 1

zu a)Sei v ∈ Kern(f), also f(v) = 0 also

              g(f(v)) = g(0) = 0

==>    v  ∈ Kern(gof)

Also gilt   Kern(f) ⊆ Kern(gof)

  ==>   def(f) = dim (Kern(f))  ≤ dim(  Kern(gof)) = def(gof)

 ==>  def(g ◦ f) ≥ def f .

Ähnlich: Sei w ∈ Bild(fog)

==>  ….  ==>  w ∈ Bild(g)

also Bild(fog) ⊆  Bild(g)

==>   rg(g ◦ f) ≤ rg f