Ich versuche mal die Obersumme.
Die Zerlegung liefert ja immer Quadrate , wobei der größte Funktionswert
ja wohl an der rechten oberen Ecke des Quadrates angenommen wird.
also ist der größte Funktionswert auf dem Quadrat [i/n, (i+1)/n]}×{[j/n, (j+1)/n]
der Wert ((i+1)/n)^2 +((j+1)/n)^2 . Das Quadrat hat ja die Fläche 1/n^2 und damit
werden die Summanden der Obersumme so aussehen:
Quadratfläche* max. Funktionswert auf dem Quadrat
(1/n^2) * ((i+1)/n)^2 +((j+1)/n)^2
$$\sum \limits_{i,j=0}^{n-1}(1/n^2) * ( ((i+1)/n)^2 +((j+1)/n)^2)$$
und die Reihenfolge der Summanden ist ja egal, also
$$=\sum \limits_{i=0}^{n-1}\sum \limits_{j=0}^{n-1}(1/n^2) * ( ((i+1)/n)^2+((j+1)/n)^2)$$
$$=\frac{1}{n^4}\sum \limits_{i=0}^{n-1}\sum \limits_{j=0}^{n-1} ( (i+1)^2+(j+1))^2)$$
Jetzt Indexverschiebung für die innere Summe
$$=\frac{1}{n^4}\sum \limits_{i=0}^{n-1}\sum \limits_{j=1}^{n} ( (i+1)^2+j^2)$$
Der 1. Summand in der Klammer hängt nicht von j ab, also n mal der gleiche Wert
$$=\frac{1}{n^4}\sum \limits_{i=0}^{n-1}(n*(i+1)^2 +\sum \limits_{j=1}^{n} j^2)$$
Dann die Summenformel
$$=\frac{1}{n^4}\sum \limits_{i=0}^{n-1}(n*(i+1)^2 +\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6})$$
n rausziehen
$$=\frac{1}{n^3}\sum \limits_{i=0}^{n-1}((i+1)^2 +\frac{(n+1)*(2n+1)}{6})$$
Jetzt ist der 2. Summand in der Summe n mal der gleiche
$$=\frac{1}{n^3}( n*\frac{(n+1)*(2n+1)}{6}+\sum \limits_{i=0}^{n-1}((i+1)^2 )$$
Und wieder Indexverschiebung und Summenformel gibt
$$=\frac{1}{n^3}( n*\frac{(n+1)*(2n+1)}{6}+\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6} )$$
$$=\frac{2n*(n+1)*(2n+1)}{6*n^3}$$
Und für die Untersumme entsprechend mit dem Wert an der linken unteren Ecke.
