Beweisen Sie, dass die Schnittmenge des geschlossenen Intervalle ungleich der leeren Menge ist

Question

Ich muss folgende Aufgabe beweisen:

$$\text{ Sei } ([a_k; b_k])_{k \in \mathbb{N}} \text{ eine Folge abgeschlossener Intervalle in }\mathbb{R} \text{ mit } [a_k; b_k]\cap [a_l; b_l] \neq \emptyset :\forall k,l \in \mathbb{N} \\ \text{ . Beweisen Sie, dass } \cap_{k \in \mathbb{N}} [a_k; b_k] \neq  \emptyset$$

Aus der Aufgabe wird ersichtlich das der Durchschnitt von dem Intervall mit dem Indizes k mit dem Intervall mit dem Indizes l  ungleich der leeren Menge ist. Heißt also beide Intervalle sind  nicht disjunkt, also enthalten beide Intervalle einige Elemente die in beiden Intervallen vorkommen.

Ich soll also zeigen dass die Summe alle Durchschnitte des Intervalls mit dem Indizes von k nie disjunkt sein wird ( also es wird immer mindestens ein Element geben, welches in beiden Intervallen vorhanden sein wird, welche geschnitten werden.)

Ich vermute ich soll also zeigen, dass der gegebene abgeschlossen Intervall mein ''größter Intervall ist'' und alle anderen die ich mit diesem ein Durchschnitt mache ''kleiner'' sind als das Ursprüngliche Intervall. Also nehme ich an zu zeigen ist eine Intervallschachtelung aus welcher dann folgt, dass die Summe aller Durchschnitte nie Disjunkt sein wird? Oder soll ich mithilfe der Mengenlehre argumentieren, eine Kontraposition erstellen und zeigen, dass die Summe der Durchschnitte des Intervalls disjunkt ist zur Widerspruch der Intervallschachtelung steht?

Problem/Ansatz:

Kann jemand mir sagen ob meine Idee in der korrekten Richtung    liegt  und/ oder eine andere vorschlagen, und wenn ja wie ich meine Idee in mathematisch korrekt aufschreiben soll?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

In den rationalen Zahlen gilt die Aussage nicht, zum Beispiel:

        a_n : die größte Zahl mit n Dezimalstellen, so dass a_n·a_n ≤ 2 ist.

        b_n : die kleinste Zahl mit n Dezimalstellen, so dass b_n·b_n ≥ 2 ist.

Dann ist [a_n; b_n] ⊂[a_m;b_m] falls n > m ist, also [a_k;b_k] ∩ [a_l;b_l]≠∅ für alle k,l. Trotzdem ist ∩_k∈IN[a_k;b_k] = ∅, weil √2 keine rationale Zahl ist.

Für den Beweis deiner Aussage wird also die Eigenschaft benötigt, die die reellen Zahlen von den rationalen Zahlen unterscheiden; und das ist Vollständigkeit. Wie habt ihr die definiert?

dass die Summe aller Durchschnitte nie Disjunkt sein wird?

Eigentlich musst du zeigen, dass der der Duchschnitt aller gegebenen Intervalle nicht leer ist, dass es also eine reelle Zahl gibt, die in allen Intervallen enthalten ist.

Einfach zu zeigen ist: Wenn I₁ ∩ I₂ ≠∅ und  I₁ ∩ I₃ ≠∅ und I₂ ∩ I₃ ≠∅, dann ist I₁ ∩ I₂ ∩ I₃ ≠ ∅.

Mittels Induktion lässt sich das verallgemeinern zu: Wenn I_k ∩ I_l  ≠∅ für alle k,l = 1 ... n ist, dann ist ∩_k=1...n I_k ≠ ∅. Beachte dabei, dass der Durschnitt zweier abgeschlossenener Intervalle wieder ein abteschlossenes Intervall ist.

Für den Schritt  ∩_k∈IN I_k ≠ ∅ wird dann die Vollständigkeit benötigt, ich weiß aber noch nicht wie. Hängt auch davon ab, wie Vollständigkeit genau definiert ist.