Kurvendiskussion: Nullenstellenberechnung von trigonometrischen Funktionen zum Beispiel für die Funktion f(x)= sinx+x

Question

Aufgabe: Kurvendiskussion

Bestimmen Sie die Nullstellen für die folgende Funktion

f(x)= sinx+x

Problem/Ansatz: f(x) = 0

sinx+x = 0

kann jemand helfen?

Answer 1

Na offensichtlich ist die Gleichung doch erfüllt, wenn $x=0$ ist. Wird $x$ größer, so kann es im Positiven nur noch eine Nullstelle geben, wenn $\sin x$ entsprechend klein wird. $\sin x$ wird aber erst wieder negativ, wenn $x \gt \pi$ ist und dann ist $x \gt \pi$ und da $\sin x$ nie kleiner als $-1$ wird, kann es dort keine weitere Nullstelle geben.

Weiter ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung - d.h. $\sin(x) + x = -(\sin(-x)-x)$, also verhält sich die Funktion im Negativen genauso. $x=0$ bleibt also die einzige Nullstelle.

Ein Plot zeigt dies nochmal deutlich: Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)+xZoom: x(-12…12) y(-8…8)

Um die Extremstellen zu bestimmen, leitet man ab: $$f'(x) = \cos(x) + 1$$ Die Ableitung ist genau dann $=0$, wenn $\cos(x)=-1$ ist. Dies ist periodisch der Fall bei $$x_i = (2k+1)\pi \quad k \in \mathbb{Z}$$ D.h. der Wert von $k$ muss die Werte $k \in \{\dots \, -2, \, -1, \, 0, \, 1,\, 2,\, \dots\}$ annehmen. Nun ist aber $$f''(x) = -\sin(x)$$ d.h. dass di e zweite Ableitung an diesen Stellen ebenfalls $=0$ ist. Wir haben es hier also mit Sattelpunkten zu tun. Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)+xf₂(x) = cos(x)+1Zoom: x(-20…20) y(-15…15)P(π|π)P(3π|3π)P(-π|-π)P(-3π|-3π)

die rote Kurve zeigt den Graphen der ersten Ableitung. Sie wird nie negativ, es gibt also keine Extremstellen.

Gruß Werner

Comments

warum verläuft die Funktion sinx+x durch den Ursprung - x²+x hat eine Nullstelle bei -1 also ist die Parabel auf der x-Achse verschoben -

---

warum verläuft die Funktion sinx+x durch den Ursprung?

$\sin(0)=0$ und wenn $f(x)=\sin(x)+x$ ist, dann ist $f(0)=0$. Der Graph der Funktion geht also durch den Punkt $(0|0)$ - und das ist der Ursprung.

x2+x hat eine Nullstelle bei -1

korrekt und eine zweite Nullstelle bei $0$: Plotlux öffnen

f₁(x) = x²+xP(-1|0)P(0|0)

---

hat die Funktion dann überhaupt einen Extremwert bzw. Wendepunkte? - weil sie geht ja dann ins Unendliche!

---

hat die Funktion dann überhaupt einen Extremwert bzw. Wendepunkte?

ich habe die Antwort erweitert (s.o.)

weil sie geht ja dann ins Unendliche!

kann sie. Das heißt nicht, dass so eine Funktion keine Extremstellen haben kann. Zum Beispiel $g(x)=x^3-x$ geht genauso in's Unendliche und hat zwei Extremstellen und einen Wendepunkt.