Question

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f : V → V ein nilpotente lineare Abbildung, d.h.
f^k= 0 (Nullabbildung) fur ein k ∈ N.
(a) Zeigen Sie: def f ≥\( \frac{n}{k} \)
(b) Geben Sie zwei Matrizen A, B ∈ R^3x3 an, die je eine nilpotente lineare Abbildung R³ →
R³ bestimmen und zusätzlich A ≠ 0, A² = 0 und B² ≠ 0 erfüllen.

Könnte mir jemand bei folgenden beiden Teilaufgaben behilflich sein?

Answer 1

A =   0   1    0
        0    0    0
        0    0    0

B =   0   1    0
        0    0    0
        1    0    0

Comments

Kannst du mir vielleicht erklären, wie du darauf gekommen bist, Oder kann man sich das einfach im Kopf überlegen?

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Ich hab mal  ein wenig probiert und

hatte schon die Idee:

Da müssen ja ziemlich viele 0en in

der Matrix sein.

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Okay, danke. Könntest mir vielleicht auch bei Teilaufgabe a helfen? Da hackt es zur Zeit sehr :((

Answer 2

Zu Aufgabe a)

Du hast f: V→V mit dim(V)=n. Das kannst du nutzen, um die Aussage zu zeigen:

def(f) ≥ n/k kannst du auch schreiben als dim(Kern(f)) ≥ dim(v)/k oder eben, da f: V→V ist, auch als dim(V) ≥ dim(V)/k.

Da k ∈ N ist, gilt, dass k ≥ 1 ist. Also hast du dort mindestens stehen dim(V) ≥ dim(V)/1, also dim(V) = dim(V). In jedem anderen Fall steht dort dim(V) ≥ dim(V)/2,3,4,...