f stetig, so f([a,b]) ein kompaktes Intervall

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Ist f: [a,b] → R mit a,b ∈ R, a < b eine stetige Funktion, so ist f([a,b]) ein kompaktes Intervall.

In der Vorlesung haben sie nur gesagt die Aufgabe sei nicht so schwierig weshalb wir auf Tipps und Definitionen verzichtet haben. Dennoch bin ich planlos.

Answer 1

Laut dem Satz vom Maximum und Minimum hat f([a,b]) ein Maximum M und ein Minimum m.

Seien, x_M, x_m ∈ [a,b] mit f(x_M) = M und f(x_m) = m. Sei o.B.d.A x_m ≤ x_M.

Laut dem Zwischenwertsatz gibt es zu jedem y ∈ [m, M] ein x ∈ [x_m, x_M] mit f(x) = y.