Dass ψ auch eine lineare Abbildung ist, ist wohl klar,
es ist die Differenz zweier linearer Abbildungen
id und φ, also auch linear.
Ist ψ Injektiv ?
Seien also u und v aus V und
ψ(u) = ψ(v)
==> u - φ(u) = v - φ(v)
==> u - v = φ(u) - φ(v) = φ(u - v ) #
Darauf nochmal φ anwenden gibt
φ(u - v ) = φ(φ(u - v ))
und wegen φ o φ = 0 ist das gleich 0, also
φ(u - v ) und wegen # auch u-v=0, also u=v.
==> ψ Injektiv .
Und somit ist ψ : V ---> V ein injektiver Homomorphismus,
also sein Kern = {0} und wegen
dim Bild( ψ) + dim(Kern( ψ) = dim V folgt
dim Bild( ψ) = dim V
also ist Bild( ψ) ein Unterraum von V, der die gleiche Dimension
wie V hat, also gleich V.
Na ja: Wenn Bild( ψ) = V , dann ist ψ auch surjektiv. q.e.d.
