Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, drei gleichfärbige Kugeln zu ziehen (Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen)

Question

Aufgabe:

In einem Behältnis befinden sich 10 grüne, 10 rote und 10 weiße Kugeln. Bei der Tombola werden ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen.

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, drei gleichfärbige Kugeln zu ziehen.

2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, von jeder Farbe eine Kugel zu ziehen.

Problem/Ansatz:

1) \( \frac{10}{30} · \frac{9}{29} · \frac{8}{28} \) hierbei hat mein lehrer jedoch eine *3 hinzugefügt, wieso die 3? \( \frac{10}{30} · \frac{9}{29} · \frac{8}{28} \color{#F00}{ · 3 } \)

2) \( \frac{10}{30} · \frac{10}{29} · \frac{10}{28} \) hier wiederrum kam eine *6 hinzu: \( \frac{10}{30} · \frac{10}{29} · \frac{10}{28} \color{#F00}{ · 6 } \)

 

Kann mir jemand erklären, wann diese Zahlen dazukommen und warum?

Answer 1

In einem Behältnis befinden sich 10 grüne, 10 rote und 10 weiße Kugeln. Bei der Tombola werden ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen.

1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, drei gleichfarbige Kugeln zu ziehen.

2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, von jeder Farbe eine Kugel zu ziehen.

1)

Du hast 3 Farben die du ziehen kannst

P(ggg, rrr, www) = 3 * 10/30 * 9/29 * 8/28

2)

Es gibt 6 Reihenfolgen in denen gezogen werden kann.

P(grw, gwr, rgw, rwg, wgr, wrg) = 3! * 10/30 * 10/29 * 10/28

Comments

und wann weiß ich, ob ich jetzt die Reihenfolge(6) oder die Farben(3) nehmen muss..?

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Die Reihenfolge sind ja auch die unterschiedlichen züge bei den Farben.

Ich habe dir dafür extra die infrage kommenden Ziehungen notiert. Die musst du dir natürlich auch überlegen.

P(ggg, rrr, www) bzw. P(grw, gwr, rgw, rwg, wgr, wrg)

Jetzt ein kleiner Test. Schaun wir mal, ob du die Pfade richtig notieren kannst:

Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit genau eine weiße Kugel zu ziehen.

Tipp: Hier ist es eventuell nicht verkehrt, die grünen und die roten Kugeln zu "nicht weiße" Kugeln zusammenzufassen.

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Vielen Dank! Setze mich da in der früh intensiv dran!

Ich vermute in diesem Fall wäre es: 1 - 10/30 * 10/29 * 10/28?

Okay, mein Fehler -> 10/30 * 10/29 * 10/28 * 3

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Moment... Kann es sein dass es 10/30 * 20/29 * 19/28 *3 ist...?

P(w,nw,nw)

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Rechnung sieht gut aus aber

P(wnn, nwn, nnw)

Es gibt also drei Pfade und bei jedem Pfad hat man eine weiße und zwei nichtweiße.

Answer 2

Variation 3. Ordnung + sich ändernder Wahrscheinlichkeit:
Hierfür empfehle ich die hypergeometrische Verteilung.

Somit wäre es für a: P("drei gleichfarbige")= \(3\cdot \frac{6}{203}\approx 8.7\%\) Die *3, weil du sonst nur die Wahrscheinlichkeit für 3 gleichfarbige ENTWEDER rot oder grün oder weiß hast. Aber du musst die Einzelwahrscheinlichkeiten zusammenaddieren.

b) P("jeweils eine")=\(\frac{50}{203}\approx 24.6\%\) Die *6, weil du \(3!=6\) Möglichkeiten zur Kombinatorik hast, wie diese angeordnet werden können.

Answer 3

Wahrscheinlichkeit für grün im ersten Zug ist 10/30.

Falls im ersten Zug grün gezogen wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit für grün im zweiten Zug 9/29.

Falls im ersten und zweiten Zug grün gezogen wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit für grün im dritten Zug 8/28.

Die Wahrscheinlichkeit für drei grüne beträgt also 10/30·9/29·8/28.

Was solltest du berechnen?