Näherungsfunktion bestimmen

Question

Aufgabe: Leiten Sie für g(x)=e^-0,5x^2 als Nährungsfunktion ein Polynom ¯g vom Grad zwei her, das folgende Eigenschaften hat: ‾g stimmt an der Stelle x=0 nicht nur im Funktionswert, sondern auch in den Werten der ersten beiden Ableitungen mit g überein.

Zur Kontrolle: ‾g(x)= 1-0,5x^2

Problem/Ansatz: Wie komme ich auf die Näherungsfunktion ‾g ?

Answer 1

f(x) ≔ EXP(- 0.5·x^2)

f(0) = 1

f'(0) = 0

f''(0) = -1

T2(x) = f(0)/0!·x^0 + f'(0)/1!·x^1 + f''(0)/2!·x^2 = 1 - 1/2·x^2

Comments

Vielen Dank!

Können Sie mir erklären was Sie im letzten Schritt gemacht haben? Was haben Sie da gerechnet?

:)

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Im letzten Schritt wurde vermutlich die Taylorentwicklung verwendet. Es geht aber auch mit dem Ansatz h(x)=ax²+bx+c;h'(x)=2ax+b und h''(x)=2a. Dann soll gelten h''(0)=g''(0) oder 2a=-1 oder a=-1/2. Und h'(0)=g'(0) oder b=0. Und h(0)=g(0) oder c=1.

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Ich habe hier die Taylorentwicklung genommen. Die ergibt sich allerdings aus der Ableitung eines allgemeinen Ponynoms:

T(x) = ax^2 + bx + c --> c = T(0)

T'(x) = 2ax + b --> b = T'(0)

T''(x) = 2a → a = T''(0)/2