Stationäre Punkte von f(x,y,z)=x^2-27x+y^3-12y^2-z^4+256z

Question

ich bräuchte bitte Hilfe bei folgender Aufgabe.

Aufgabe:f(x,y,z)=x²-27x+y^3-12y^2-z^4+256z      (f(x,y,z) gemäß Kommentar des FS geändert) 

Stationäre Punkte finden

Problem/Ansatz:

Vorgegeben sind 3 Punkte für jede Variable also x=..,y=,z=/x=..,y=,z=/x=..,y=,z=

Soweit ich erinnere, muss man doch die jeweiligen partiellen Ableitungen = 0 setzen. Dabei bekomme ich x=13,5, y= 0 oder y=8 z=4. Ich verstehe nicht wo ich da 3 Punkte finden soll?

Hilfe :D

Answer 1

die ursprüngliche Funktion  f(x,y,z) = x³ - 27·x + y^3 - 12·y^2 - z^4 + 256·z  wurde nach Kommentar des Fragestellers abgeändert:

f(x,y,z) = x^2 - 27·x + y^3 - 12·y^2 - z^4 + 256·z

f_x =  2·x - 27  = 0      →   x = 13,5

f_y = 3·y^2 - 24·y  = 0    →   y = 0   oder y = 8

f_z =  256 - 4·z^3  = 0    →   z = 4

Jedes Ergebnis für die Variablen ergibt mit jedem der anderen Variablen einen stationären Punkt:

              (13,5 | 0 | 4)    ,     (13,5 | 8 | 4)

Gruß Wolfgang

Comments

Ach Mist, ich hab mich bei der ersten Variable.verschrieben, es sollte x^2 nicht x^3, sorry.

Dann wäre es doch 13,5?

Und dann hätte ich eben nur 2 Punkte, 13,5/0/4 und 13,5/8/4

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Ja, dann hast du  x = 13,5  ;   y₁ = 0    y₂ = 8    und  z = 4   richtig berechnet.

Jedes Ergebnis für die Variablen ergibt mit jedem der anderen Variablen einen stationären Punkt:
            (13,5 | 0 | 4)  ,  (13,5 | 8 | 4) 

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Habe meine Antwort dementsprechend geändert.

Answer 2

f(x, y, z) = x^3 - 27·x + y^3 - 12·y^2 - z^4 + 256·z

f'(x, y, z) = [3·x^2 - 27, 3·y^2 - 24·y, 256 - 4·z^3] = [0, 0, 0] -->

(x = -3 ∧ y = 8 ∧ z = 4) ∨
(x = -3 ∧ y = 0 ∧ z = 4) ∨
(x = 3 ∧ y = 8 ∧ z = 4) ∨
(x = 3 ∧ y = 0 ∧ z = 4)