$$L=\lim\limits_{n\to\infty}[7^n+3^n]^{\frac{1}{n}}$$ Verwende die logarithmische Funktion, die monoton ist:$$\ln L=\ln \lim\limits_{n\to\infty}[7^n+3^n]^{\frac{1}{n}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\ln \left([7^n+3^n]^{\frac{1}{n}}\right)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln \left([7^n+3^n]\right)$$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln \left(7^n+3^n\right)}{n}$$L'Hospital anwenden:$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(7\right){\cdot}7^n+\ln\left(3\right){\cdot}3^n}{7^n+3^n}$$ Kommst du nun allein weiter?
Zwangsfaktorisierung: $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(7\right){\cdot}7^n+\ln\left(3\right){\cdot}3^n}{7^n+3^n}$$ Klammere \(7^n\) aus:$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{7^n\left(\ln(7)+\frac{\ln(3)}{7^n}{\cdot}\left(\frac{3}{7}\right)^n\right)}{7^n\left(1+\left(\frac{3}{7}\right)^n\right)}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(7)+\frac{\ln(3)}{7^n}{\cdot}\left(\frac{3}{7}\right)^n}{1+\left(\frac{3}{7}\right)^n}=\frac{\ln(7)+0+0}{1+0}=\ln(7)$$ "Rücksubstitution":$$\ln(L)=\ln(7) \quad \longrightarrow L=7$$
