Question

Bestimmen Sie das Differential des Vektorproduktes f : ℝ³×ℝ³ → ℝ³ mit f(x, y) = x×y. Bestimmen Sie weiterhin für stetig differenzierbare Kurven α, β : ℝ → ℝ³ die Ableitung d/dt (α(t) × β(t)).

Answer 1

du kannst das ja erstmal als Funktion von 6 Variablen auffasen und alles explizit ausrechnen.

$$f(x,y)=x\times y=\begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2\\ x_3y_1-x_1y_3\\x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix}\\$$

Dann ist

$$\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1=\begin{pmatrix} 0\\-y_3\\y_2\end{pmatrix}dx_1 \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2=\begin{pmatrix} y_3\\0\\-y_1\end{pmatrix}dx_2 \\ \frac{\partial f}{\partial x_3}dx_3=\begin{pmatrix} -y_2\\y_1\\0\end{pmatrix}dx_3 \\ \to \sum \limits_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i=dx\times y$$

Für y machst du dieselbe Rechnung und erhältst

$$\sum \limits_{i=1}^{3}\frac{\partial f}{\partial y_i}dy_i=x\times dy$$

Also ist

$$df=dx\times y+x\times dy$$

und damit folgt für teil b)

$$\frac{df}{dt}=\frac{d\alpha}{dt}\times \beta+\alpha\times\frac{d\beta}{dt}$$