Wie berechne ich das Skalarprodukt? (stetig differenzierbare Funktion)

Question

Aufgabe:

Sei \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) offen und \( f: U \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetig differenzierbare Funktion. Die Niveaufläche von \( f \) zur Höhe \( c \) ist definiert durch:

\( N_{f}(c):=\{x \in U ; f(x)=c\} \)

Sei \( \varphi:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) wobei \( \varepsilon>0 \) eine differenzierbare Kurve mit \( \varphi(0)=x \) und \( \varphi((-\varepsilon, \varepsilon)) \subset N_{f}(c) \).

Zeigen Sie, dass \( <\dot{\varphi}(0), \nabla f(x)>=0 \).

Comments

"Niveaufläche" höre ich auch das erste Mal.

Das nimmt der Fragesteller auch an, daher folgt ja gleich eine Definition des Begriffs als Menge. Nun musst du dich durch den Folgetext kämpfen. Findest du denn in deinen Unterlagen eine Definition für so ein Skalarprodukt.

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Ahh okay dann hat sich das mit der Niveaufläche geklärt.

Ich habe grade nachgeschaut. Für so ein Skalarprodukt finde ich keine Definition. Das umgedrehte Delta Symbol habe ich auch eben erst googlen müssen. Bin leider überfragt.

Answer 1

Hi,
wenn Du die Begriffe alle nicht kennst, also z.B. Niveaufläche und auch so grundlegende Dinge wie den Gradienten nicht kennst, bezeichnet mit \( \nabla \), dann wird es schwer diese Aufgabe zu lösen. Eine Vorlesung in mehrdimensionaler Analysis kann man Dir hier ja nicht geben. Deshalb also nur kurz zum Beweis den Du Dir aber wohl selbst verständlich machen musst.

Da $$ \varphi((-\epsilon, \epsilon)) \subset N_f(c) $$ gilt, folgt
\( f(\varphi(t))=c \) für \( t \in (-\epsilon, \epsilon) \) Das bebeutet $$ (f \circ\varphi)'(t)=0  $$ weil ja \( c \) konstant ist. Insbesondere gilt damit auch \( (f \circ\varphi)'(0)=0 \) Die Ableitung lässt sich aber auch schreiben als $$ (f \circ\varphi)'(0) = < \text{grad} f(\varphi(0)),\varphi'(0) >=0  $$ und da \( \varphi(0)=x \) gilt, folgt
$$  <\text{grad}f(x),\varphi'(0)>=0 $$
Dabei ist \( <,> \) das normale Skalarprodukt. Jetzt noch den Gradienten durch das \( \nabla \) Symbol ersetzten und Du bist fertig.