Gerader und ungerader Anteil der Funktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie wenn möglich den geraden und den ungeraden Anteil der Funktionen.

Problem/Ansatz:

$$f_1(x)=x\cdot \sqrt{x}$$$$f_2(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$$$$f_3(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x+4}$$

Comments

sinh(x) ist bereits vollständig ungerade.

f3 solltest du vorher kürzen.

Answer 1

jede Funktion lässt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion schreiben, d. h.:$$f(x)=f_g(x)+f_u(x)$$ Daraus folgt, dass der gerade Anteil einer Funktion wie folgt definiert ist:$$f_g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ Und der ungerade Teil wie folgt definiert ist:$$f_u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

Comments

auch die erste? was soll ich also mit $$\sqrt{-x}$$ machen?

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Es steht nicht umsonst "wenn möglich" in der Aufgabenstellung.

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also diese Funktion lasst sich einfach nicht als Summe einer geraden und ungeraden Funktion bestimmen,oder?

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Nicht in den Reellen Zahlen. Achte auch auf die Tipps von Gast62.

$\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$

Die Funktionen $\sinh(x)$ und $\cosh(x)$ sind der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion  $e^x=\cosh(x)+\sinh(x)$.

Des Weiteren ist es sehr leicht bei $f_3$ zu kürzen, um den Rechenaufwand zu reduzieren.

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bin jetzt auf gerade Anteil der 2.Funktion gekommen also: $$\frac{1}{2}$$

und ungerade: $$e^{x}-e^{-x}$$

stimmt das?

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......................Nein.

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Wie hast du gerechnet?

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okay, habe schon verstanden, ganze Funktion sinh(x) ist ungerade.

und im dritten Beispiel die gerade Teil läutet:

$$\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}$$

und ungerade:

$$\frac{-4x}{x^{2}-4}$$  ??

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f(x)=(x²-4)/(x²+4x+4)

f(x)=((x-2)(x+2))/((x+2)²)

f(x)=(x-2)/(x+2)

Ungerader Anteil:$$f_u(x)=\frac{\frac{x-2}{x+2}-\left(\frac{-x-2}{-x+2}\right)}{2}$$$$f_u(x)=\frac{4x}{4-x^2}$$ und der Gerade Anteil:$$f_g(x)=\frac{x^2+4}{4-x^2}$$

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okay, mit die ungerade Anteil hast du Recht aber bist du sicher dass diese gerade richtig ist? Ich habe schon ein paar mal gerechnet und ich komme immer auf

$$\frac{x^{2}+4}{x^{2}-4}$$