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Guten Tag!

Aufgabe:

Rechnen Sie nach, dass für die Fourier-Koeffizienten gilt:

an=\( \frac{2}{π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)cos(nx)dx, bn=0, falls f gerade (d.h. f(-x)=f(x))

bn=\( \frac{2}{π} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)sin(nx)dx, an=0, falls f ungerade (d.h. f(-x)=-f(x))


Problem/Ansatz:

Ich möchte zunächst das an für gerade Funktionen beweisen:

Die allgemeine Definition für an ist: an=\( \frac{1}{π} \) \( \int\limits_{-π}^{π} \) f(x)cos(nx)dx.
Diese habe ich umgeformt zu an=\( \frac{1}{π} \) ( - \( \int\limits_{0}^{-π} \) f(x)cos(nx)dx + \( \int\limits_{0}^{π} \) f(x)cos(nx)dx), ist der Ansatz richtig?
Und wie kann ich das jetzt anhand der Geradheit so umformen, dass in den Klammern zwei mal das gleiche Integral steht, um auf die Aufgabenstellung zu kommen?

Vielen Dank für die Hilfe!

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

 f(x) und cos(nx) sind gerade. also auch f(x)*cos(nx) du kannst also substituieren y=-x  dy=-dx , Grenzen x=-pi zu y=pi x=0 y=0  dann hast du

$$-\int_0^{-\pi}f(x)cos(nx)dx=-\int_0^{\pi}f(y)cos(ny)*(-1)dy =\int_0^{\pi}f(y)cos(ny)*dy$$und ob der Integrand x oder y heisst ist ja egal.

bei sin, ungerade und f(x) ungerade ist wieder f(x)*sin(nx) gerade, dann läuft das Argument genauso.

Gruß lul

von 41 k
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Hallo,

Du brauchst in Deinem ersten Integral lediglich die Substitution y=-x durchführen und beachten, dass die cos-Funktion gerade ist und nach Voraussetzung auch f.

Gruß MathePeter

von

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