Vollständige Induktion. Zeige die Summenformel mit Resultat a_{n } = (n-1)2^{n+1}+ 2

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Folge: a_n = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{k*2^k} \)

Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle n∈Ν gilt:

                                              a_n   = (n-1)2ⁿ⁺¹+ 2

Problem/Ansatz:

Den Induktionsanfang habe ich bereits durchgeführt, für n = 1 funktioniert es.

Nun aber wenn ich für n + 1 testen soll bekomme ich

(n-1)²ⁿ⁺¹ + 2 + ((n+1)*2ⁿ⁺¹ welches ich so umformen muss (falls das so richtig aufgestellt ist), dass es

((n+1)-1)*2^(n+1)+1 +2 ergibt, doch da bin ich gerade am scheitern. Ich würde gerne wissen ob das soweit richtig aufgestellt ist/ wie ich weiter vorgehen muss.

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (k·2^k) = 2^(n + 1)·(n - 1) + 2

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (k·2^k) = 2^(1 + 1)·(1 - 1) + 2
1·2^1 = 2^2·0 + 2
2 = 2
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) = 2^(n + 1 + 1)·(n + 1 - 1) + 2
∑ (k = 1 bis n + 1) (k·2^k) + (n + 1)·2^(n + 1) = 2^(n + 2)·n + 2
2^(n + 1)·(n - 1) + 2 + (n + 1)·2^(n + 1) = 2^(n + 2)·n + 2
2^(n + 1)·(n - 1) + (n + 1)·2^(n + 1) = 2^(n + 2)·n
2^(n + 1)·(n - 1 + n + 1) = 2^(n + 2)·n
2^(n + 1)·(2·n) = 2^(n + 2)·n
2^(n + 2)·n = 2^(n + 2)·n
wahr

Comments

Ahh alles klar also war mein Ansatz ja richtig :) vielen Dank°