Bestimmen der Menge {A ∈ M(n)| BA = AB für alle B ∈ M(n)}

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N. Bestimmen Sie die Menge {A ∈ M(n) | BA = AB für alle B ∈ M(n)}.

Problem/Ansatz:

Versteh nur Bahnhof, es soll wohl die Nullmatrix und die Einheitsmatrix drin sein allerdings sehe ich nicht wie man darauf kommt. Ebenso sollen eventuell auch noch die vielfachen der Einheitsmatrix drin sein. Aber wie gehe ich da ran!

Comments

Hallo

Machs einfach mal mit 2 mal 2 matrices, dann siehst du es, vielleicht noch mit 3 mal 3 ob es da auch klappt und dann verallgemeinern.

Wenn man keine Idee hat, spielt man halt mal mit einfachen Beispielen!

Gruß lul

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danke für denn tipp. ich habe mir mal überlegt wie ich zum beispiel auf die Nullmatrix komme.

Das wäre selbstverständlich die Nullmatrix selber also \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) aber diese kann ich ja auch noch anders erzeugen in dem ich zum beispiel

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) mit \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) multipliziere somit hätte ich schon mal 3 matrizen aber da gäbe es ja an sich dann auch unendlich viele aber ich weiß nun nur nicht wie mir das weiter helfen soll. läuft es darauf hinaus das man einfach auf die art und weiße wie matrizen mit einander multipliziert werden müssen eingehen hat oder wie?

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Nochmal eine Ergänzung.

Für eine Matrix A für die gilt das deren Eintrage auf der Diagonalen n sind und die restlichen 0. Dann kann man eine beliebige Matrix B von Links oder Rechts dazu multiplizieren das Ergebnis bleibt gleich.

also \( \begin{pmatrix} n & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} \) beliebig groß wählbar

Ist das etwa die Lösung?

Answer 1

Also die Nullmatrix ist garantiert dabei; denn  für alle B ∈ M(n) gilt

Nullmatrix * B = B * Nullmatrix

und für die Einheitsmatrix entsprechend.

Und wenn du eine Matrix A hast, die ein Vielfaches der

Einheitsmatrix ist dann geht es auch ; denn A = k*E führt zu

A*B = (k*E)*B = k*(E*B) = k*B = B*k = (B*E)*k = B*A

Für jeden anderen Fall geht es nicht; da kannst du

immer Matrizen B finden, bei denen es nicht klappt.

Probiere mal mit sowas wie

0   1   0 

und sonst alles 0en.

Comments

Auch ein danke an dich mathef. Dann dürfte ich ja gar nicht so falsch damit liegen das es auf die Diagonalen Einträge drauf an kommt. Sprich die Diagonalen müssen n sein und alle anderen Einträge 0 damit AB=BA gilt. Oder hab ich einen Denkfehler!

Answer 2

Hallo

ja die Diagonalmatrix mit Einträgen r aus R, ich würde nicht gerade n schreiben, oder wenigstens n∈ℝ, dann ist die Nullmatrix schon dabei

Gruß lul