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Finde alle 2x2 Matrizen B, so dass AB = BA mit 


A =

12
01


Ich habe getüftelt und folgende Matrizen herausgefunden:

B =

10
01



B =

00
00




B =

-1-2
0-1




B =

-10
0-1



Meine Frage ist nun folgende: Muss man einfach rumtüfteln oder gibt es Beweismethoden oder ähnliches? Habe ich bereits alle möglichen Matrizen gefunden? Wie muss ich vorgehen?

von

2 Antworten

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[1, 2; 0, 1]·[a, b; c, d] = [a + 2·c, b + 2·d; c, d]

[a, b; c, d]·[1, 2; 0, 1] = [a, 2·a + b; c, 2·c + d]

Es muss also gelten

a + 2·c = a

b + 2·d = 2·a + b

c = c

d = 2·c + d

Die dritte Gleichung ist eh immer erfüllt. Die erste und die vierte eh nur wenn c = 0 gilt.

c = 0

b + 2·d = 2·a + b --> a = d

Es gilt also für alle Matritzen

B = [a, b; 0, a]

Du hast also schon ein paar gefunden aber noch lange nicht alle.

von 293 k

Ah super vielen dank, ist das schon die lösung? weil das sind ja quasi unendlich zahlen die ich nicht alle auflisten kann.

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  Durch eine ganz einfache Überlegung kannst du das Problem abspecken;    jede Matrix vertauscht mit der Einheitsmatrix, darum lassen wir die einfach weg:



        A  =     0   2

                   0    0         (  1   )


       C  =  A  B  ;    Matrixelement  C_11


     2  B_21  =  0  ===>  B_21  =  0      (  2a  )

     Matrixelememt C_12

     2  B_22  =  2  B_11      (  2b  )


      (  2b  )  intressiert aber nicht; wir sagten doch, dass die Einheitsmatrix mit allen vertauscht. Wir setzen B_11 = B_22 = 0

   Jetzt C_21   ;  0  =  0

    C_22

    0  =   0  wegen   ( 2a )


         D.h.  B_12  ist noch frei wählbar.



     Eigentlich logisch;   Physiker würden diese Matrix ja als Leiteroperator  (S+)  bezeichnen, die den Spin nach Oben flippt oder ein Teilchen von dem unteren ins obere Niveau anhebt.  Ist doch logisch, dass (S+) mit sich selber vertauscht.

von 5,5 k

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