Das lässt sich doch ganz gut zeichnen
Das erste heißt doch:
auf und oberhalb der x-Achse.
Das zweite :
auf und unterhalb der Geraden mit y = 60+3x
Das dritte:
Auf und unterhalb der Geraden y=60-1,2x
~plot~ 60+3x;60-1.2x;[[-21|60|0|60]] ~plot~
Also geht es letztlich um die Anzahl der Gitterpunkte
im Dreieck (und auf dessen Rand) mit den
Ecken (-20;0) , (50;0) ; (0;60)
Ich würde mich erst mal auf das Dreieck
(-20;0) , (0;0) ; (0;60) konzentrieren:
Auf der Strecke (-20;0) , (0;0) liegen 21 Gitterpunkte
(wenn man die Endpunkte mitzählt)
und auf der Strecke (-19;3) , (0;3) liegen 20 Gitterpunkte
und 20 liegen auch auf den entsprechenden Linien zum
y-Wert 1 und 2 .
Also haben wir schon mal
21 + 3*20
Dann kommen die Strecken in der Höhe von y=4, y=5 und y=6.
Da gibt es jeweils 19, also hat man
20 + 3*19 + 3*18 und so geht das immer weiter bis
auf den Strecken in der Höhe von y=58,59,60 je nur ein Gitterpunkt
(nämlich der auf der y-Achse ) liegt.
Damit sind in diesen Teil des Dreiecks
21 + 3*20 + 3*19 + 3*18 + … + 3*1
= 21 + 3* (20+19+18+...+1)
= 21 + 3 * (21*20/2 ) = 651 Gitterpunkte.
Für den rechten Teil des Dreiecks müssen wir die
Punkte auf der y-Achse weglassen (Die haben wir ja schon.)
und überlegen ähnlich:
Auf der Strecke von (0;0) bis ( 50;0) sind es dann nur 50
Eine Einheit höher geht die Strecke von (0;1) bis (49,16.. ; 1 )
also 49 Punkte.
Eine Einheit höher geht die Strecke von (0;2) bis (48,33.. ; 2 ) also 48 Punkte.
Eine Einheit höher geht die Strecke von (0;3) bis (47,5 ; 3 ) also 47 Punkte.
und so wird es immer einer weniger bis es auf der Höhe von 5.
Dort geht die Strecke von (0;5) bis (45,83 ; 5 ) also 45 Punkte.
Aber dann bei der 6:
Dort geht die Strecke von (0;6) bis (45 ; 6) also wieder 45 Punkte.
So geht es immer weiter: Bei jeder um 1 größeren y-Wert gibt es ein
Gitterpunkt weniger, außer wenn der y-Wert durch 6 teilbar ist, da sind es
genauso viele wie beim Vorgänger. Das sieht also so aus
50+49+48+47+46+45+45+44+43+42+41+40+40+39+38+37+36+35+35+...
Es sind also gerade die durch 5 teilbaren Werte doppelt vorhanden und alle anderen
nur einfach, also sieht das so aus
(50+49+48+....+1) + (45+40+35+30+...+5)
= 50*51/2 + 5* (1+2+3+...+9)
=1275 + 225
=1500
Also insgesamt 1500+651 = 2151 ganzzahlige Lösungen.
