Wie bestimme ich die Randdichte und wie prüfe ich X und Y auf Unabhägigkeit?

Question

Bestimmen Sie c ∈ R so, dass die Funktion
f(x, y) :=  cx(2 − x − y) , x, y ∈ [0, 1]

           = 0 ,sonst

eine Dichte des zufäligen Vektors (X, Y ) mit Werten in R hoch 2
ist.
(b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y .
(c) Prüfen Sie, ob X und Y unabhängig sind

Mein Ansatz: zu a) Das Doppelintegral mit jeweils 0 und 1 als Grenzen gleich 1 setzen und anschließend nach c auflösen.

                      zu b) Randdichte von X : Einfachintegral nach y integrieren, mit den Grenzen 0 und 1, und x als feste Zahl                                       betrachten. Der neu entstandene Funktionsterm ist meine Randdichte zu X.

                               Analog mit Y nur mit dem Unterschied zu Beginn nach y zu integrieren.

                    zu c) da habe ich keinen wirklichen Ansatz

Lieben Dank für eure Hilfe im Voraus

Answer 1

a)

Dein Ansatz klingt doch gut. Was hinderte dich daran ihn in die Tat umzusetzen?

∫(x = 0 bis 1) (∫(y = 0 bis 1) (c·x·(2 - x - y)) dy) dx = 5/12·c = 1 --> c = 2.4

b)

Ich denke auch da ist dein Ansatz richtig.

c)

Unabhängigkeit gilt wenn P(X) * P(Y) = P(X ∩ Y) gilt. Dabei sind doch P(X) und P(Y) die Randdichten.

Kommst du jetzt weiter? Wenn nicht dann sag mal deine Probleme.

Comments

Hab vielen Dank!:) Ich fühlte mich, was die Herangehensweise angeht, sehr unsicher. Aber offensichtlich sind meine Ansätze richtig.