Matrix - diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Sei A die Matrix \( \begin{pmatrix} -9& -13 & 6 \\ 11 & 15 & -6 \\ -12 & -12 & 10 \end{pmatrix} \). Ist die Matrix diagonalisierbar? wenn ja, geben Sie eine Matrix T an, sodass T^-1AT eine Diagonalmatrix ist. Ist A invertierbar? 

Die Eigenwerte sind 2, 10 und 4 - die habe ich in einer Aufgabe davor bestimmt. Da diese Eigenwerte paarweise verschieden sind ist die Matrix diagonalisierbar.

Wie bestimmt man nun die Matrix T? Kann mir das jemand sagen? Ich habe im Internet verschiedene Vorgehensweisen gefunden aber irgendwie verstehe ich das nicht so ganz.. 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Du musst noch die Eigenvektoren aufstellen und die Matrix aus den Eigenvektoren bilden. Dann noch die Inverse und dann das Ergebnis prüfen

[0.5, 0.5, 0; 0.5, -0.5, -1; -1.5, -1.5, 1]·[-9, -13, 6; 11, 15, -6; -12, -12, 10]·[4, 1, 1; -2, -1, -1; 3, 0, 1] = [2, 0, 0; 0, 4, 0; 0, 0, 10]

T = [4, 1, 1; -2, -1, -1; 3, 0, 1]

Comments

irgendwie habe ich meine Probleme die Eigenvektoren zu bestimmen. Aber ich habe mal angefangen, mit dem Eigenwert 2: 

\( \begin{pmatrix} -9-2 & -13 & 6 \\ 11 & 15-2 & -6 \\ -12 & -12 & 10-2 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Das habe ich umgeformt zu: 

\( \begin{pmatrix} -11 & -13 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & 16 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Was sind aber nun die Werte für x,y,z? Ich komme mit der 0-Zeile nicht ganz klar.

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Die Nullzeile ist immer erfüllt und die kannst du daher ignorieren.

Du bekommst dafür ein Freiheitsgrad.

Es gilt also

24·y + 16·z = 0 --> y = -2/3·z

-11·x - 13·(- 2/3·z) + 6·z = 0 --> x = 4/3·z

für z = 3 also der Eigenvektor [4, -2, 3].

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Vielen Dank! Also Z = 3 wählt man wahrscheinlich weil dann die Brüche "schöner" aufgehen, oder? 

Ich habe mal weiter gerechnet mit dem Eigenwert 4, und hoffe ich habe mich nicht verrechnet: 

\( \begin{pmatrix} -19 & -13 & 6 \\ 0 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Dann wäre demnach:

1) -6*z = 0 -> z = 0
2) -6*y-6*z = 0 -> y = -z (oder y = 0, da z=0?)
3) -19x-13*(-z)+6*z=0
    -19x+13z = 0
    -19x=-13z → x = 13/19z

Und somit bei z=19 der Eigenvektor: \( \begin{pmatrix} 13\\-19\\0 \end{pmatrix} \) 

Ich glaube aber das ist falsch, oder?

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Es sollte wieder eine Zeile wegfallen. Sonst hast du einen Fehler gemacht. Das besondere an Eigenvektoren ist immer das ein vielfaches des Eigenvektors wieder ein Eigenvektor ist. Daher muss eine Zeile immer wegfallen damit du einen Freiheitsgrad bekommst.

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Da hast du Recht, hab da irgendetwas falsch gemacht. 

Bei erneutem rechnen komme ich auf: 

\( \begin{pmatrix} -13 & -13 & 6 \\ 0 & 0 & -12 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)*\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Doch wie interpretiere ich das hier wieder? Hier haben wir ja in Zeile 2 -12z = 0, also z = 0? Und dann eingesetzt in die obere Gleichung y = -x? bzw. x = -y? 

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Genau. Und y kannst du dann frei wählen also z.b. y = -1

Dann ist [1, -1, 0] ein Eigenvektor oder?

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Okay super :) Nun bin ich beim 3. mit dem Eigenwert 10. 

\( \begin{pmatrix} -19 & -13 & 6 \\ 0 & -48 & 48 \\ -12 & -12 & 0 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Doch leider weiß ich nicht, wie ich hier weiter rechnen kann. Weder bekomme ich hier eine Spalte mit nur nullen noch kann ich Variablen einzeln hinstellen..

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Du solltest auch wieder eine Zeile mit Nullen bekommen. Wie gesagt sonst hast du etwas verkehrt gemacht.

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Vielen Dank für deine Rückmeldung. Also ich habe inzwischen einiges probiert aber mit der dem Eigenwert 4 und somit der Matrix:

\( \begin{pmatrix} -13 & -13 & 6 \\ 11 & 11 & -6 \\ -12 & -12 & 6 \end{pmatrix} \) komme ich auf keine Zeilen mit 0en. Was mache ich falsch? 

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[-13, -13, 6]
[11, 11, -6]
[-12, -12, 6]

The simpliest way: I + II ; III + II

[-2, -2, 0]
[11, 11, -6]
[-1, -1, 0]

Nun kann man die dritte und die erste verknüpfen und man kommt auf die Nullzeile.

[-13, -13, 6]
[11, 11, -6]
[-12, -12, 6]

another way: 13*II + 11*I ; 13*III - 12*I

[-13, -13, 6]
[0, 0, -12]
[0, 0, 6]

Hier verknotest du jetzt die II und die II Zeile und erhältst ebenso eine Nullzeile. Also ich weiß nicht was du gemacht hast. Aber wie gesagt solange man keine Nullzeile erhält macht man irgendwas verkehrt.

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Ich danke dir vielmals. Irgendwie habe ich da den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. 

Ich habe jetzt folgendes raus: 

\( \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) 

Dementsprechend komme ich auf: 
-6z = 0 → z = 0?
-2x -2y = 0 → x = -y, also y wieder beliebig? 

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Genau. Du kannst bei mir in der Antwort doch in der einen Matrix die Eigenvektoren ablesen.

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Entschuldige, den Eigenwert 4 hatten wir ja eigentlich schon komplett durch. Den vorherigen Kommentar kannst du nicht weiter beachten. 

Es ging mir eigentlich um die Matrix: 
\( \begin{pmatrix} -19 & -13 & 6 \\ 11 & 5 & -6 \\ -12 & -12 & 0 \end{pmatrix} \) bei dem Eigenwert 10. 

Kannst du mir hier einen Tipp geben, wie ich am sinnvollsten die 0 Zeile rein bekomme? 

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Moment, ich habe es gleich schon glaube ich.

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Ich habe angefangen mit I+II und dann die 3. Zeile zur Nullzeile umgeformt und dann in der zweiten Zeile noch den y-Wert entfernt und komme letztendlich auf: 

\( \begin{pmatrix} -24 & -24 & 0 \\ 11 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) 

Beim Umformen komme ich nun auf: 

11x-6z = 0 → x = 6/11z 
-24x-24y = 0 → -24y = 24x <-> -y = 6/11z → y = -6/11z 

Wenn ich z = 11 nehme, dann habe ich den Eigenvektor: \( \begin{pmatrix} 6 \\ -6 \\ 11 \end{pmatrix} \) Kann das hinkommen? :) 

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Bei der Matrix

[-19, -13, 6]
[11, 5, -6]
[-12, -12, 0]

Hätte ich zuerst I + II gerechnet und komme auf

[-19, -13, 6]
[-8, -8, 0]
[-12, -12, 0]

Nun wird das dritte zur Nullzeile.

Du kommst dann z.B. zu

z = x ∧ y = -x

Also z.b. [1, -1, 1] welchen Vektor du auch in meiner Lösung bereits ablesen konntest.

Weil du nirgends ne Rechnung dazu schreibst kann ich auch nur sagen das du Murks machst aber nicht wo du ihn machst. Aber das Umformen der Matrizen solltest du zur nächsten Arbeit üben.

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Hi, ja, das muss ich wirklich üben, da hast du Recht.. mir graut es schon vor der Klausur. 

Ich zeige dir mal kurz was ich gemacht habe, da ich von dir einen Teil nicht verstehe. 

-19 -13 6 +II
11 5 -6
-12 -12 0 

-8 -8 0 *3
11 5 -6 
-12 -12 0 *2

-24 -24 0 
11 5 -6 
-24 -24 0 -I 

-24 -24 0 *5 
11 5 -6 *24
0 0 0

-120 -120 0 
264 120 -144 +I
0 0 0 

-24 -24 0
11 0 -6
0 0 0 

Ist das so falsch? 

Aber gut, ich weiß dann deinen Weg. Ich habe dann endlich alle 3 Eigenvektoren. Um zur ursprünglichen Aufgabe zurückzukommen: Ich stelle dann die Matrix mit den Eigenvektoren auf, bestimmte davon das Inverse und was muss ich dann noch machen? Kannst du mir das letztendlich vielleicht noch sagen? :) 

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-120 -120 0 
264 120 -144 +I

Warum ergibt das jetzt nicht [144, 0, -144] sonder [11, 0, -6] ??? Macht das für dich einen Sinn?

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Entschuldige, das muss natürlich: 

-120 -120 0 
6 0 -6 
0 0 0 

lauten. Dementsprechend haben wir dann wie du schon gesagt hast: 

6x = 6z -> z = x
-120x -120y = 0 → -120x = 120y → -x = y 
und somit y = -z  und wenn wir z = 1 wählen: 

[1; -1; 1], habs verstanden. :)