Aussagen zeigen für ganzrationale Funktionen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den R-Vektorraum V:={f:R→R|f ist ganzrational} der ganzrationalen Funktionen. Zeigen Sie:

1. Die Funktionen pi:x→x^i für i∈N0 bilden eine Basis von V.

2. Für jedes a∈R ist die Abbildung Φa:V→R, f→f(a)ein Element des Dualraums V^∗.

3. Die Familie(Φa:a∈R) von Elementen Φa∈V^∗ ist linear unabhängig.

Hinweis: Betrachten Sie zu vorgegebenen Zahlen a1, . . . , an ∈R die ganzrationalen Funktionen fk(x) :=∏(x−ai).
                                                                      i≠k

Problem/Ansatz:

Ich komm auf keine Lösung, könnte mir jemand helfen?

Answer 1

Da versucht sich wer an Hartls Zettel ^^

Ansatz zu 2: \( V^\ast = Hom_\mathbb{R}(V, \mathbb{R}) \), d.h. du sollst prüfen ob \( \Phi_a \in Hom_\mathbb{R}(V, \mathbb{R}) \), also ob \( \Phi_a \) ein \(\mathbb{R}\)-Homomorphismus ist.

Ansatz zu 3: Da \( \Phi_a : a \in \mathbb{R} \) eine unendliche Familie ist, sollte man erstmal eine Definition von linearer Unabhängigkeit bei unendlich vielen Vektoren haben: Eine unendliche Familie von Vektoren ist linear unabhängig, wenn jede darin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. (Glaube das steht nichmal im Skript, kann aber sein, dass ich es nur übersehen habe ^^') d.h. (wie der Tipp auch schon sagt) muss man erstmal \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R} \) beliebig wählen (dabei müssen natürlich alle \(a_i\) unterschiedlich sein). Wählt man z.B. \( a_1, a_2, a_3 \), dann kann man sehen \[ \Phi_{a_1}(f_1) = f_1(a_1) = \underbrace{(a_1 - a_2)}_{\neq 0} \cdot \underbrace{(a_1-a_3)}_{\neq 0} \neq 0 \\ \Phi_{a_2}(f_1) = f_1(a_2) = \underbrace{(a_2 - a_2)}_{=0} \cdot \underbrace{(a_2-a_3)}_{\neq 0} = 0 \\ \Phi_{a_3}(f_1) = f_1(a_3) = \underbrace{(a_3 - a_2)}_{\neq 0} \cdot \underbrace{(a_3-a_3)}_{=0} = 0 \\ \Phi_{a_1}(f_2) = f_2(a_1) = (a_1-a_1)\cdot(a_1-a_3) = 0 \\ \Phi_{a_2}(f_2) = f_2(a_2) = (a_2-a_1)\cdot(a_2-a_3) \neq 0 \\ \Phi_{a_3}(f_2) = f_2(a_3) = (a_3-a_1)\cdot(a_3-a_3) = 0 \\ \Phi_{a_1}(f_3) = f_3(a_1) = (a_1-a_1)\cdot(a_1-a_2) = 0 \\ \Phi_{a_2}(f_3) = f_3(a_2) = (a_2-a_1)\cdot(a_2-a_2) = 0 \\ \Phi_{a_3}(f_3) = f_3(a_3) = (a_3-a_1)\cdot(a_3-a_2) \neq 0 \]

Da fällt vielleicht eine Regelmäßigkeit auf. Diese Regelmäßigkeit muss dann noch für beliebig viele \(a_i\) gezeigt werden, und daraus kann man zeigen, dass die \((\Phi_{a_i})\) linear unabhängig sind.

Comments

Ich habe noch eine kurze Frage dazu, wie zeigt man nochmal, dass eine Abbildung ein R- Homomorphismus ist, wie z.B. bei der Aufgabe hier. Ich finde dazu nichts vernünftiges im Internet.

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Eine Abbildung ist ein \(\mathbb{R}\)-Homomorphismus, wenn sie \(\mathbb{R}\)-linear ist.

Definition: Eine Abbdilung \(f:V \rightarrow V'\) zwischen \(\mathbb{R}\)-VR \(V, V'\) ist ein \(\mathbb{R}\)-Homomorphismus, wenn für alle \(v,w \in V\) und \(\alpha \in \mathbb{R}\) gilt \[ 1.\:\: f(v+w) = f(v) + f(w) \\ 2. \:\: f(\alpha\cdot v) = \alpha\cdot f(v) \]

d.h. diese beiden Eigenschaften müssen geprüft werden.

Als Vorstellung: Eine Abbildung ist ein Homomorphismus, wenn das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von V' ist.

Dass du dazu im Internet nichts findest wundert mich aber doch schon etwas ^^

Answer 2

Jede ganzrationale Funktion, also jedes Polynom, hat die Darstellung

\( \sum \limits_{i=0}^{n}r_i · x^{i} \) damit sind die \( x^i \) Basis, setzt man in \( f(x)=\sum \limits_{i=0}^{n}r_i · x^i \) das \( x=a \) ein, so ergibt sich eine eindeutige reelle Zahl.

Gruß lul

Comments

So weit bin ich bei dieser Aufgabe auch gekommen. Jedoch fehlt mir zu zweitens und drittens der Ansatz.

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Also aus \(f(x) = \sum\limits_{i=0}^n r_i\cdot x^i\) folgt erstmal nur, dass die \(x^i\) Erzeugendensystem von \(V\) sind. Und der letzte Satz zeigt meines Erachtens nur, dass \(f\) wohldefiniert ist... (oder vielleicht auch, dass \(x^i\) Erzeugendensystem vom \(\mathbb{R}\)-VR \(\mathbb{R}\) ist...)

Man kann aber so argumentieren, dass die \(x^i\) minimales Erzeugendensystem sind (da man kein \(x^i\) weglassen kann), und es daher eine Basis ist.

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Das Problem ist, dass ich keine Idee habe, wie man zeigen soll, dass es nach dem weglassen eines xⁿ kein Erzeugendensystem mehr ist, da es möglich ist ein f(y) aus einer endlichen Summe der verbleibenden xⁱ zu bilden, sodass für endlich viele y∈ℝ f(y)=yⁿ gilt, woraus iterativ folgt, dass xⁿ als unendliche Linearkombination der übrigen xⁱ dargestellt werden kann. Der Beweis müsste also benutzen, dass nur endliche Linearkombinationen möglich sind.

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Nur weil unendlich viele Funktionswerte identisch sind, sind die Funktionen aber noch nicht gleich. z.B. die Folge \((-1)^n\) hat an unendlich vielen Stellen den Wert \(1\). Trotzdem ist sie nicht mit der Folge \((1)\) identisch. Und bei Funktionen wird das ganze noch schlimmer. Wenn zwei Funktionen nur auf einem beliebig kleinen Intervall gleich sind, haben sie schon unendlich viele Schnittpunkte.

Ein anderer Ansatz ist, dass \(x^{n+1} = x\cdot x^n\) und da natürlich \(x\) nicht konstant ist, ist \(x^{n+1}\) nicht aus \(x^n\) kombinierbar.