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Ich muss folgende Aufgabe beweisen und brauche Hilfe dabei.


Aufgabe:

$$\text{ Sei } f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \text{ stetig und es gelte } f([a,b])\subset [a,b] \\[10pt] \text{Beweisen Sie, dass dann f mindestens ein Fixpunkt besitzt, d.h ein }\\ x_0\in [a,b]: f(x_0)=x_0$$


Problem/Ansatz:

Meine Überlegung war eine Argumentation über den Zwischenwertsatz aufzubauen, jedoch bin ich dabei mittendrin gescheitert:


$$\text{ Laut Zwischenwertsatz da } f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \text{ stetig und es gelte } f([a,b])\subset [a,b] \\\Longrightarrow \text{(1) } \forall u \in [f(a),f(b)]: f(a) \leq f(b) \exists x_0 \in [a,b]:f(x_0)=u \\ \text{(2) } \forall u \in [f(b),f(a)]: f(a) \lt f(b) \exists x_0 \in [a,b]:f(x_0)=u \\[10pt] \text{ Aus (1) und (2)} \Longrightarrow m:=min\{f(a),f(b)\} \land M:=max\{f(a),f(b)\} \\\Longrightarrow [m,M] \subseteq f[a,b]$$


Wie muss ich weiter mit dem direkten Beweis vorgehen um den Fixpunkt nachzuweisen?

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Betrachte einfach  g(x) = f(x) - x.

g ist also auch stetig auf [a,b] und es gilt

g(a) = f(a) - a und weil f(a) ≥ a ist, gilt g(a)  ≥ 0

und entsprechend g(b) ≤ 0

Also hat g eine Nullstelle zwischen a und b

( Zwischenwertsatz war schon ne gute Idee.)

Es gibt also x mit g(x) =    also

                          f(x) - x =  0

                                   f(x) = x     Bingo !

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