Extrema von f(x, y) = x^4 + y^4 − 2x^2 − 2y^2 + 4xy auf der Einheitskugel bestimmen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion f : R^2 → R mit
f(x, y) = x^4 + y^4 − 2x^2 − 2y^2 + 4xy

auf der Einheitskugel
B = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1}.

Problem/Ansatz:

Allein die Formulierung hier verwirrt mich:

sollen wir nur x und y werte aus B benutzen, und mit denen die Extrema bestimmen?

Einen Ansatz zu finden ist irgendwie ziemlich schwierig :(

Answer 1

sollen wir nur x und y werte aus B benutzen, und mit denen die Extrema bestimmen?

Ja.

Zunächst ignorierst du diese Anforderung und bestimmst die Extremstellen wie üblich. Von diesen Extremstellen wirfst die weg, die außerhalb der Einheitskugel liegen.

In einem zweiten Schritt bestimmst du die Extrema, die auf dem Rand liegen. Das kannst du mit Lagrange-Multiplikatoeren machen. Eine andere Möglichkeit ist. Die Gleichung x² + y² = 1 nach y aufzulösen und in f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 2x² − 2y² + 4xy einzusetzen. Dann hast du nur noch eine Funktion mit einer Variablen, deren Extremstellen du dann mit Mitteln der Schulmathematik bestimmen kannst.

Comments

ty so much m8