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Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit f (x) = (1/3)x^3 (x − 2)^2 auf Monotonie und bestimmen Sie alle lokalen Extrema.
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Hi,

die Ableitung kann bestimmt werden zu

f'(x) = 1/3*(x-2)*x^2*(5x-6)

x1 = 2 und x2 = 6/5 sind Extrempunkte (Probe mit VZW oder zweiter Ableitung)

x3,4 = 0 ist eine doppelte Nullstelle und kein Extrempunkt sein.

 

H(6/5|1152/3125) und T(2/0)

 

Damit kann man dann das mit der Monotonie hinlegen:

I1 = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> streng steigend

I2 = {6/5 ≤ x ≤ 2} -> streng fallend

I3 = {2 ≤ x < ∞} -> streng steigend

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀

@unknown

f'(x) = 1/3*(x-2)*x2*(5x-6)
Die erste Ableitung scheint zu stimmen, aber wie
bist du darauf gekommen ?

" I1 = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> streng steigend "
Im Bereich liegt ein Sattelpunkt bei x = 0, daher
dürfte es nur lauten :
" I1 = {-∞ < x ≤ 6/5}  -> steigend "

mfg Georg

Nein, meine Aussage ist richtig.

Beachte die Definition von "streng monoton".

Erst heute hatten wir dazu einen Thread.

https://www.mathelounge.de/129052/korrekte-schreibweise-fur-monotonie-und-intervall-beispiel


Aber wie Du in meinem einleitenden Satz siehst...bis vor "kurzem" dachte ich genau wie Du :D.
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f  ( x ) = (1/3 * )x3 * ( x − 2 )2
f ´( x ) = 1/3 * [ 3 * x^2 * ( x - 2)^2 + x^3 * 2 * ( x - 2 ) * 1 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 3 * x^2 ( x - 2 ) + 2 * x^3 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 3 * x^3  - 6 * x^2  + 2 * x^3 ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 5 * x^3  - 6 * x^2   ]
( x - 2 ) = 0
x = 2
[ 5 * x^3  - 6 * x^2  ]  = 0
x^2 * [ 5 * x - 6 ] = 0
x = 0
5 * x - 6 = 0
x = 1.2
Waagerechte Tangente
x = 2
x = 0
x = 1.2
2.Ableitung
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( x - 2 ) * [ 5 * x^3  - 6 * x^2  ]
f ´ ( x ) = 1 /3 * [ 1 * [ 5 * x^3  - 6 * x^2  ] + ( x - 2 ) * ( 5 * x^3 - 6 * x^2 )
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( 5 * x^3  - 6 * x^2  +  5 * x^4 - 6 * x^3 - 10 * x^3  + 12 * x^2 )
f ´ ( x ) = 1 /3 * ( 5 * x^4  - 11 * x^3  + 6 * x^2  )
Einsetzen
f ´ ( 2) = 1 /3 * ( 5 * 2^4  - 11 * 2^3  + 6 * 2^2  )
f ´ ( 0 ) = 1 /3 * ( 5 * x^4  - 11 * x^3  + 6 * x^2  ) = 0
f ´ ( 1.2 ) = 1 /3 * ( 5 * 1.2^4  - 11 * 1.2^3  + 6 * 1.2^2  )

0 ist einSattelpunkt
1.2 ist einHochpunkt
2 ist ein Tiefpunkt.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg


 

Avatar von 122 k 🚀
Die Gleichung hieß: 1/3x^3*(x-2)^2

sorry.


ist dann die Ableitung X^2*2x-4
Und somit x1= -1+Wurzel5 und x2=-1-wurzel5 ?

1/3x3*(x-2)2

bitte versuche einmal so zu klammern das die Funktion
eindeutig wird

( 1 / 3 )  * x^3 * ( x-2)^2
oder
1 / ( 3 * x^3 ) * ( x-2)^2

Falls du die Aufgabe aus einem Buch entnommen
hast dann schreib sie bitte mal so hin wie im Buch
angegeben.

mfg Georg

Habe ich vorhin aufgeschrien. Wie sie da stand
1/3x^3*(x-2)^2

ein drittel x^3 und dann  der Rest
dann müßte meine Ableitung(en) doch stimmen.
1.Ableitung durch die Produktregel.
Siehst du irgendwo einen Fehler oder
falls du Fragen hast bitte melden.
mfg Georg
Kannst du mir vielleicht bei dem natürlichen Logarithmus helfen? Ich weiß nicht genau, wie man den auflösen soll .. Nur irgendwie erklären?
Folgende aufgabe: Ermitteln Sie die Definitionsmenge der vorliegenden Gleichungen und Sie geben ihre vollständige Lösungsmenge L in R an:

a.) ln(x−1)− 1/2 ln(4) = 1/4 ln(16)−ln(x+2)
b.) ln(x−1) = 1
c.) 4^{x−2} =10

d.) 2ln(x)=1/(ln(2))
e.) 2e^{2y}−2e^y=4.
Ich glaube diese Aufgaben hat jemand vor ein paar Tagen schon  reingestellt. Versuch vielleicht via Suche die Antwort zu finden.
Ja habe ich schon gesehen aber da stehen nur die Lösungen und bekomme nie das Ergebnis raus ..
Bitte dort weiterfragen und hier (wenn du willst) einfach mal den Link angeben.

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