Binomialkoeffizienten umformen: (n tief r)(r tief k) = …

Question

Guten Tag ,

ich komme mit der folgenden Aufgabe leider nicht weiter

$$ \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix}\quad =\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} n-k \\ k-k\end{pmatrix} \quad für\quad 0\le k\le r\le n $$

ich kenn mich natürlich mit den Regeln einigermaßen aus, aber komme troztdem nicht zur Lösung.

ich versuchte die linke Seite umzuformen leider vergeblich

ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen  //

 

Ich hoffe es war so gemeint. TeX korrigiert (Unknown)

Comments

Ganz rechts steht unten jetzt k-k, also eigentlich 0?? (Etwas tief 0) ist immer 1.

Sollst du von links nach rechts umformen oder nach einer der Variabeln auflösen?

Answer 1

Richtig war nur, was ich als Erstes im Kommentar zur Frage angemerkt hatte.

Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+n+choose+r%29%28r+choose+k%29+%3D+%28n+choose+k%29%28%28n-k%29+choose+%28k-k%29%29

Man kann nur die Gleichung als Ganzes vereinfachen zu

( n tief r)(r tief k) = (n tief k)

und daran nach ablesen, dass wegen 0≤k≤r≤n (k,r,n wohl Element N)

r = n oder r=k sein muss.

Comments

Das kann nicht sein. Wähle  n = 3, k = 1  und  r = 2. Dann ist \(\binom nr\cdot\binom rk=6\ne3=\binom nk\).

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Richtig! Danke. Allgemeingültig ist ( n tief r)(r tief k) = (n tief k) nicht, da in meiner inzwischen gelöschten und korrigierten 'Antwort' nicht berücksichtigt wurde, dass die gleichen k-elementigen Mengen mehrfach gezählt werden.

Richtig war nur, was ich als Erstes im Kommentar zur Frage angemerkt hatte.

Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+n+choose+r%29%28r+choose+k%29+%3D+%28n+choose+k%29%28%28n-k%29+choose+%28k-k%29%29

Man kann nur die Gleichung als Ganzes vereinfachen zu

( n tief r)(r tief k) = (n tief k)