Ist diese Abbildung linear ? Wie kann ich sie Umschreiben ?

Question

Aufgabe:

Ich soll überprüfen ob gegebene Abbildungen linear sind, dies ist eine von denen:

\( \begin{array} { c } { \text { 2. Gegeben } \phi \in \mathbb { R } , \text { die Abbildung } r _ { \phi } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \text { gegeben durch } } \\ { r _ { \phi } ( x , y ) : = ( ( \cos \phi ) x + ( - \sin \phi ) y , ( \sin \phi ) x + ( \cos \phi ) y ) } \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Ich hätte das jetz so geschrieben: (siehe beide Varianten im  Bild unten)

1. Versuch schlug fehl,
Es führte mich aufm Holzweg ich kriegte hin, dass ich sagen kann dass das, wodurch die Abbidlung definiert ist,  eigentlich eine Linkmultiplikation mit einer Matrix ist. Also der Form Ax=b.


2. Versuch: Ich bin schon näher am Ziel.
Ich schaue woraus der erste Vektor kommt: Aus R^(2) und der Dritte kommt aus R^(2). 
Ich schreibe das mal um und sehe dass in der zweiten Variante die Transformation von mir umgeschrieben aus dem R^(3) kommt. 

Idee

Eigentlich müsste ich so etwas bekommen:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} (cosφ)x\\(-sinφ)y + (+cosφ)y\\ \end{pmatrix} \)

Ich weiss nicht ob das "legal" ist, denn in der Abbildungsdefinition ist ja alles auf einer Zeilge geschrieben und jeder Koeffizient ist mit einem Plus verknüpft mit dem nächsten.
Wenn ich das als Vektor schreiben wollte orientiere ich mich an den Plus und schreibe alles untereinander. So erhalte ich aber R^(3) was falsch ist. 
Das einzige das dafür spricht, dass ich die letzten beide koeffizienten (-sinφ)y + (cosφ) als einen Eintrag in dem Vektor  schreiben kann, ist die Tatsache, dass der Transformationsvektor im R^(2) ist und das beide das Argument y haben. 

Frage:
Kann mir jemand Helfen Klarheit zu finden ? 


Bild:

Answer 1

Falls die folgende Abbildung linear ist, ist auch die Abbildung, die du zu untersuchen hast, linear.

\( \begin{array} { c } { \text { 2. Gegeben } \phi \in \mathbb { R } , \text { die Abbildung } r  : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \text { gegeben durch } } \\ { r  ( x , y ) : = ( a x +  b y , c x + d y ) } \end{array} \)

Falls schon gezeigt wurde, dass Abbildungen linear sind, wenn sie mit Matrizen beschrieben werden können, genügt es, wenn du für diese Abbildung eine Matrix angeben kannst.

Die Sache mit den phi ist dann einfach ein Spezialfall von dieser Abbildung.

Wegen r: R^2 -> R^2 suchst du eine 2x2-Matrix.

Zum "Beschreiben": Schaue dir die Matrizen für Spiegelungen und Drehungen genau an. Die kommen immer wieder mal vor.

Comments

Vielen Dank, heisst das, dass ich für das nachweisen einer linearen Abbildung zeigen kann, dass die die Transformationsmatrix die bei der Zuweisungsvorschrift normalerweise gegeben ist, in diesem Fall wird ja 

\( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) ↦ \( \begin{pmatrix} cosφ*x & -sinφ*y \\ sinφ*x & cosφ*y \end{pmatrix} \)

der Vektor x zu Ax umtransformiert. 

Reicht es jetzt also wenn ich für das nachweisen der lin. Abbildung zeige dass Ax eigentlich ein Vektor x ist der von links mit der Matrix A multipliziert wurde? 

Wenn ja, habe ich es folgendermassen gemacht, ich habe die zugehörige Proposition ebenfalls auf dem Bild notiert sofern es die richtige ist. 

Ist das, was ich gemacht habe korrekt ? 

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x und y gehören als Vektor neben die Abbildungsmatrix und nicht in die Abbildungsmatrix.

Zu deiner Rechnung:

Warum teilst du das denn auf?

Matrixmultiplikation geht doch direkt.

(a b )    (x)

(c d)   * (y)

=

ax + by

cx + dy

Es genügt, wenn du das so schreibst:

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Super, danke! 

Letzte Unklahreit für heute:

Also ich schreibe die Abbildungsmatrix auf und sehe mir an welchen Vektor sie eigentlich transformiert, in diesem Fall einen Vektor  x=(x,y) aus R^(2). 
Den Vektor x schreibe ich als Spaltenvektor auf. 

Links von diesem Svpaltenektor scheribe ich die Abbildungsmatrix neu hin aber dieses mal  enthält sie nur noch Koeffizienten (Keine Unbekannten x,y mehr). 

Jetzt habe ich A*x stehen. 


Wenn die Matrixmultiplikation von links mit diesem Vektor x aufgeht,
und sie mir die ursprüngliche Abbildungsmatrix als Produkt liefert, ist die Abbildung linear.

Sagt das auch die Proposition die ich auf dem Blatt oben stehen habe ? 

Answer 2

Es handelt sich um eine Drehung um den Winkel Φ um den Koordinatenursprung.