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Aufgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung f sowie Basen B, E von F52x2 und C, C' von F5[t]2:

f: F52x2 → F5[t]2,   \( \begin{pmatrix} a11 & a12 \\ a21 & a22 \end{pmatrix} \) ↦2a11 + a12 + (a21 + a22)t + a11 t2

(...)
Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht, was das t bedeutet. Ich weiß, dass hier eine 2x2-Matrix eines F5-Körpers auf einen F5-Körper adjungiert t2 abgebildet wird. Ich weiß nicht, was t sein soll. Es kann nur 0 oder 1 sein, ist aber kein Körper. Wie kann ich t ermitteln/muss ich t ermitteln, um die Darstellungsmatrix zu berechnen?

Vielen Dank für jede Hilfe.

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F5[t]2 ist die Menge aller Polynome vom Grad ≤ 2 mit t als Variable.

t ist die Variable.

Beispiel.

    x2 + 3x +1 ∉ F5[t]2

    t2 + 3t + 1 ∈ F5[t]2

Natürlich ist die Funktion

        x ↦ x2 + 3x +1

die gleiche wie die Funktion

        t ↦ x2 + 3x +1

Bei den Elementen von F5[t]2 handelt es sich aber nicht um Funktionen, sondern im wesentlichen um Zeichenketten. Deshalb auch die Abgrenzung zwischen Polynom und Polynomfunktion, die dir vielleicht schon mal über den Weg gelaufen ist. eine Polynomfunktion ist eine Funktion dessen Funktionsterm ein Polynom ist.

Wie kann ich t ermitteln/muss ich t ermitteln

Die Frage ergibt keinen Sinn. t wird nicht ermittelt und es wird auch kein Wert für t eingesetzt.

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Vielen Dank, leider hänge ich jedoch immer noch bei der Aufgabe. Ich soll die Darstellungsmatrix von M(ε, C) ermitteln. Ich bin jetzt soweit gekommen, dass ich jeweils die Bilder von ε bestimmt habe:

f\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = 2+t2

f\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) = 1

f\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) = t

f\( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) = t

Nun müsste ich gemäß unserer Vorlesung eine erweiterte Koeffizientenmatrix umformen, bei der links die Vektoren von C (laut Aufgabe C=(1+3t2, 4t + 2t2, 3+2t2) stehen und rechts die Bilder der ε-Vektoren, bis ich links die Einheitsmatrix habe.

Mein Problem ist, dass die Matrix bei mir so aussieht:

(1+3t2   4t+2t2   3+2t2    |  2+t2   1   t   t)

So kann ich es ja nicht umformen. 

In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren. Insbesondere sind die Spalten der Abbildungsmatrix nicht die Vektoren selbst, sondern deren Koordinaten.

Die Bilder der Basisvektoren hast du bereits berechnet. Du brauchst nur noch deren Koordinaten bezüglich C. Dazu musst du zum Beispiel 2 + t2 als Linearkombination von 1+3t2, 4t + 2t2 und 3+2t2 darstellen:

    2 + t2 = x·(1+3t2) + y·(4t + 2t2) + z·(3+2t2)

ausmultiplizieren und zusammenfassen liefert

    2 + t2 = (x+3z) + 4yt + (3x+2y+2z)t2

Koeffizientenvergleich liefert das GLeichungssystem

    2 = x+3z

    0 = 4y

    1 = 3x+2y+2z.

Löse dieses Gleichungssystem. Die Lösung ist dann die erste Spalte der Matrix.

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