Wahr oder Falsch? Es gibt eine 5-elementige ℝ-Basis von ℝ3

Question

Wahr oder Falsch? (Mit Beweis)

a) Es gibt eine 5-elementige ℝ-Basis von ℝ³

b) Je n paarweise verschiedene Vektoren aus ℝⁿ bilden immer eine ℝ-Basis von ℝⁿ

c) Jede ℝ-lineare Abbildung von ℝ⁴ nach ℝ⁴ ist surjektiv

d) Jede ℝ-lineare Abbildung von ℝ³ nach ℝ³ ist injektiv

Answer 1

a) Es gibt eine 5-elementige ℝ-Basis von ℝ3 . Nein, alle Basen von R^3 haben 3 Elemente.

b) Je n paarweise verschiedene Vektoren aus ℝⁿ bilden immer eine ℝ-Basis von ℝⁿ

nein:  (1;0) und (2;0) sind 2 verschiedene El. von R^2, aber lin. abhängig; also keine Basis.

c) Jede ℝ-lineare Abbildung von ℝ4 nach ℝ4 ist surjektiv. Nein z.B. die 0-Abbildung

(alles wird auf den 0-Vektor abgebildet) ist R-linear aber nicht surjektiv.

d) Jede ℝ-lineare Abbildung von ℝ3 nach ℝ3 ist Injektiv.

falsch:    entsprechend zu c) Nullabbildung