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Aufgabe: Berechne die erste Ableitung der Funktionen a.) und b.) mit Hilfe der Definition:  f'(x)=\( \lim\limits_{Δx\to\ 0} \)\( \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} \)

a.) f(x) = (x+a)^2

b.) f(x) = x^3


Problem: Was ist Δx und wie setzt man in die Gleichung richtig ein?

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Was ist Δx und wie setzt man in die Gleichung richtig ein?

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Einführung

oder auch https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Berechnung_einer_Ableitungsfunktion

Δx ist ein Wert mit kleinem Betrag , der zum Ende der Überlegung

gegen 0 geht. . Wenn du also betrachten sollst

( f(x+Δx) - f(x) )  /   Δx

und hast  f(x) = (x+a)^2  dann ist das

( (x+ Δx+a)^2  -  (x+a)^2  )  /    Δx

= ( (x+a+ Δx)^2  -  (x+a)^2  )  /    Δx

= ( (x+a)^2 +2(x+a)Δx+ (Δx)^2  -  (x+a)^2  )  /  Δx

= ( 2(x+a)Δx+ (Δx)^2   )  /  Δx    Jetzt  Δx  kürzen !

= ( 2(x+a)+ (Δx))  /   1

=  2(x+a)+ Δx

Und für  Δx gegen 0 ist der Grenzwert  2(x+a) = f ' (x) .

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Zu b) Ich schreibe h=Δx:

f(x+h)= (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3

f(x+h)-f(x)=3x2h+3xh2+h3=h·(3x2+3xh+h2)

(f(x+h)-f(x))/h=3x2+3xh+h2

und für h=0 ist das 3x2.

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