Lineare Algebra (Basis,Dimension,Bijektion)

Question

Aufgabe:

$$\begin{array} { l } { \text { Seien } n \in \mathbb { N } \text { und } \operatorname { dim } _ { K } ( V ) = n = \operatorname { dim } _ { K } ( W ) . \text { Weiter seien } B \text { eine } K \text { -Basis von } V \text { und } \alpha \in \operatorname { Hom } _ { K } ( V , W ) \text { . } } \\ { \text { Zeigen Sie: } } \\ { \alpha \text { ist bijektiv genau dann } B ^ { \alpha } \text { eine } K \text { -Basis von } W \text { ist. } } \end{array}$$

Problem/Ansatz: Habe leider zu der Aufgabe keinen Ansatz.

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Danke für den Tipp!

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: α ist bijektiv genau dann, wenn Bα eine K-Basis von W ist.

Stichworte: abbildung,algebra,bijektiv,homomorphismus,lineare-algebra

kann mir jemand einen Ansatz oder die Lösung zu folgender Übungsaufgabe geben?

Seien n ∈ N und dimK(V ) = n = dimK(W). Weiter seien B eine K-Basis von V und α ∈ HomK(V, W).

Zeigen Sie: α ist bijektiv genau dann, wenn Bα eine K-Basis von W ist.

Answer 1

Sei \( B=\{b_1,...,b_n\}\) Basis von V.
Angenommen \( B^\alpha:= \{\alpha(b_1),...,\alpha(b_n) \}\) (was sonst?)
\( "\Rightarrow"\)  Es reicht z.z.: \(B^\alpha\) ist ein Erzeugendensystem für W, da wir richtige Anzahl an Vektoren haben.
Sei \(w \in W \).
Es gibt \( v \in V \) mit \( \alpha(v)=w\). ( \(\alpha\) surjektiv)
Es gibt \( a_i\in K,\  1\leq  i \leq n \) mit \(v=a_1b_1+...+a_nb_n \). (B Erz.syst)
\( w=...\)

\( "\Leftarrow" \) \( \alpha\) ist injektiv. Sei \(v \in kern \ \alpha \)
\(v=a_1b_1+...+a_nb_n\) 
\( \alpha(v)= a_1\alpha(b_1)+...+a_n\alpha(b_n) \Rightarrow a_i=0 \forall i \), da \(B^\alpha\) lin. un.
Also \(v=0\).

\( \alpha\) ist surjektiv, denn... (nutze \(B^a\) ist ein Erz.syst. und die Linearität aus um das Urbild anzugeben.)

Viel Erfolg!

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Bei Fragen melde ich mich nochmal.