Aufgabe:
Sei \( I=\{x \in \mathbb{Q} \mid 0<x<1\} \); für \( y \in \mathbb{Q} \) bezeichne \( |y| \) den Absolutbetrag von \( y \), also \( |y|=y \) für \( y \geq 0 \), und \( |y|=-y \) für \( y<0 \). Zeigen Sie: Die Abbildung
\( \varphi: I \rightarrow \mathbb{Q}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} \frac{1-|2 x-1|}{2 x-1} & \text { falls } x \neq 1 / 2, \\ 0 & \text { falls } x=1 / 2 . \end{array}\right. \)
liefert eine Bijektion zwischen \( I \) und \( \mathbb{Q} \).
Problem/Ansatz:
Hat jemand einen Ansatz, wie ich das zeigen kann? Gibt es eine andere Möglichkeit als einzeln die injektivität und surjektivität zu zeigen?
