Dichtefunktion, Erwartungswert und Varianz bestimmten

Question

Aufgabe:

Zufallsvariable X ist im Intervall -1 <= x < 3 gleichverteilt.

Nun soll daraus die Dichtefunktion, Erwartungswert und die Varianz bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Nun, so ganz verstehe ich das nicht. Ich weiß die Eigenschaften einer Dichtefunktion, allerdings verstehe ich nicht was genau mit gleichverteilt gemeint ist. Folgenden Ansatz habe ich für die Dichtefunktion:

f(x) = x falls -1 <= x < 3

 0 sonst

Der Erwartungswert wäre dann

E(X) = $$\int_{-1}^{3} x2 dx = [x3]$$

Für die Varianz habe ich noch keinen Ansatz.

Ich weiß zumindest, dass meine Lösung wahrscheinlich nicht stimmt. Kann mir eventuell jemand weiterhelfen? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Zufallsvariable X ist im Intervall -1 <= x < 3 gleichverteilt.

Das heißt es gibt ein \(c\in\mathbb{R}\), so dass für die Dichtefunktion \(f\) gilt

\(f(x) = \begin{cases}c&\text{falls} -1\leq x< 3\\0&\text{sonst}\end{cases}\)

BTW Dadurch dass \(f\) eine Dichtefunktion ist, ist das \(c\) eindeutig bestimmt.

Comments

Danke, dann hatte ich das soweit schon richtig :). Nur würde ich ein x anstatt c schreiben.

Danke für deine Hilfe!

---

Nur würde ich ein x anstatt c schreiben.

Dann ist es aber falsch.

f ist die Dichtefunktion. Das heißt zum Beispiel

        P(-1 < X < 0) = ∫_-1..0 f(x) dx.

Laut deiner Darstellung wäre dann

        P(-1 < X < 0) = ∫_-1..0 x dx = [1/2·x²]_-1..0 = 1/2·0²  - 1/2·1² = -1/2.

Das ist eine sehr komische Wahrscheinlichkeit.

Stattdessen musst du c berechnen durch

        ∫_-1..3 c dx = 1.

---

Ich verstehe es nun dank Ihnen! Vielen Dank!

Nur eine weitere Frage. Die Verteilungsfunktion wäre ja dann wenn man c ausrechnet, also c = ((c/2)*(3)^2)-((c/2)*(-1)^2) = 4c = 1

Also c=1/4 bzw. 0.25

Dann wäre die Verteilungsfunktion

FX =

0 falls x <= -1

0.25x falls -1 <= x < 3

1 sonst

Wenn wir jetzt z. B. die Wahrscheinlichkeit für P (x <= -0.5) berechnen, dann wäre das Ergebnis ja 0.25*-0.5 =  -0.125

Also negativ, ist das dann trotzdem korrekt? Weil die Verteilungsfunktion ja dann negative Werte als Ergebnis haben kann.

Vielen, vielen Dank! Sie haben mir extrem weitergeholfen!