Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x² - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))

Question

Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x² - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= $\frac{(x^2-1)(x+2)(x+1)}{(x-1)(4+2x)(x-2)}$

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Lücken, Polstellen. Geben Sie den
Definitions- und Wertebereich sowie das Verhalten für IxI --> ∞ an. Skizzieren Sie
den Verlauf der Funktion.

Problem/Ansatz:

Das ist eine Beispiel Klausuraufgabe für gebrochen Rationale Funktionen die sich oft wiederholt aber halt mit anderen werten.

ich finde leider kein Video oder anderes das mir das so gut erklärt wie die Lösungen bei Mathelounge.

Bräuchte einmal einen Kompletten Lösungsweg als Grundbaustein.

Danke

Gefragt 17 Jan 2019 von MatheERSTI

📘 Siehe "Grenzwert" im Wiki

3 Antworten

Beste Antwort

f(x) = (x² - 1)·(x + 2)·(x + 1) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2)) = (x + 2)·(x + 1)·(x + 1)·(x - 1) / (2·(x + 2)·(x - 1)·(x - 2))

Nullstellen des Zählers ablesbar bei: -2 ; -1 (2-fach) ; 1

Nullstellen des Nenners ablesbar bei: -2 ; 1 ; 2

Nullstellen im Zähler und Nenner sind hebbare Definitionslücken. Die sind also bei -2 und 1

Funktion bei der die Definitionslücken behoben wurden.

f(x) = (x + 1)·(x + 1) / (2·(x - 2)) = 1/2·x + 2 + 9/(2·(x - 2))

Nullstellen des Zählers bei denen der Nenner ungleich Null ist sind die Nullstellen der Funktion. Das ist hier sogar eine doppelte Nullstelle bei x = -1 also ein Hoch oder Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt.

Nullstellen des Nenners bei denen der Zähler ungleich Null sind die Polstellen. Hier haben wir eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 2.

Verhalten im Unendlichen wie bei y = 1/2·x + 2

lim (x → -∞) f(x) = -∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

Definitionsberech ist ganz R ohne Nullstellen des Nenners.

D = R \ {-2 ; 1 ; 2}

Für den Wertebereich löse ich die Funktionsgleichung nach x auf.

x = y - 1 ± √(y·(y - 6))

Wertebereich ist ganz R ohne die Werte an denen der Radikant negativ wird.

y·(y - 6) < 0 --> 0 < y < 6

W = R \ ]0 ; 6[

Achtung hier wären eventuell noch Definitionslücken zu beachten. Das brauche ich hier nur nicht machen.

Am besten macht man noch das Verhalten an den Polstellen und berechnet auch Hoch- Tiefpunkte. Das sollte man fürs skizzieren eh tun und erleichtert auch die Erkennung des Wertebereiches.

Beantwortet 17 Jan 2019 von Der_Mathecoach

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

mathef · Answer 1 · 2019-01-17T11:33:53+0000

Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Lücken, Polstellen. Geben Sie den
Definitions- und Wertebereich sowie das Verhalten für IxI --> ∞ an. Skizzieren Sie
den Verlauf der Funktion.

f(x)= $\frac{(x^2-1)(x+2)(x+1)}{(x-1)(4+2x)(x-2)}$

Am besten erst Mal möglichst viele Linearfaktoren herstellen, etwa

so

f(x)= $\frac{(x-1)(x+1)(x+2)(x+1)}{2(x-1)(2+x)(x-2)}$

Definitionsbreich sind alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners,

also hier D = ℝ \ {1;-2;2}.

Lücken sind da, wo Zähler und Nenner gemeinsame Linearfaktoren haben,

also bei x=1 und x=-2,

Die restlichen Nullstellen des Nenners sind Polstellen ( hier also bei x=2) und die des Zählers

sind Nullstellen also bei x=-1.

Dann kann man diese Faktoren kürzen und hast

f(x)= $\frac{(x+1)(x+1)}{2(x-2)}$

Für x gegen +∞ gehen Zähjler und Nenner gegen ∞, allerdings

der Zähler (quadratisch) stärker als der Nenner, also Grenzwert ∞.

Für x gegen -∞ entsprechend (Nenner negativ) Grenzwert - ∞.

Wertebereich erkennst du am besten nach der Skizze, die etwa

so aussieht

Plotlux öffnen

f₁(x) = (x+1)(x+1)/(2(x-2))Zoom: x(-6…8) y(-10…10)

Also kommen als Funktionswerte heraus W = ℝ \ ] 0;6[.

Roland · Answer 2 · 2019-01-17T11:37:07+0000

Zunächst Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen:

[(x+1)·(x-1)·(x+2)·(x+1]/[(x-1)·2·(x+2)·(x-2)]

Kürzbare Faktoren sind (x-1) und (x+2). Deshalb sind bei x=1 und bei x=-2 hebbare Definitionslücken. Kürzen:

[(x+1)·(x+1]/[·2·(x-2)]

Für weitere Eigenschaften des Graphen ist nur noch der gekürzte Termzu betrachten. Nullstellen des Zählers sind Nullstellen der Funktion: x_N=-1 (doppelt). Nullstelle des Nenners ist Polstelle x_p=2.

Da die Polynomdivision das Ergebnis x/2+2+9/(2x-4) hat, ist g(x)=x/2+2 Asyptote für x→±∞.

Mit diesen Angaben lässt sich der Graph zeichnen

Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x² - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))

3 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen:

Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x2 - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))

3 Antworten

Ähnliche Fragen

Eingabetools:

Beliebte Fragen:

Heiße Lounge-Fragen:

Kurvendiskussion gebrochenrationale Funktion f(x)=((x² - 1)·(x + 2)·(x + 1)) / ((x - 1)·(4 + 2·x)·(x - 2))