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Ich suche nach einer Definition von Grenzverteilung im Zusammenhang mit Markow-Ketten. Insbesondere möchte ich damit die Frage klären, ob die Markov-Kette mit der Übergangsmatrix

         \(M := \pmatrix{\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ \frac{1}{6} & 0 & 1}\)

eine Grenzverteilung besitzt.

Bekannt ist

        \(\lim_{n\to\infty}M^n = \pmatrix{0 & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & 0 & 1}\),

und dass \(\lim_{n\to\infty}\left(M^n\cdot \vec{v}\right)\) für jedes \(\vec{v}\in \mathbb{R}^3\)  existiert und von \(\vec{v}\) abhängt.

von 42 k

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Die Grenzverteilung und die Grenzmatrix ist in meinem Mathebuch nur definiert, wenn die Austauschmatrix M oder eine Potenz von M nur von 0 verschiedene Einträge enthält. Damit gibt es hier keine Grenzmatrix und auch keine Grenzverteilung.

Fokus Mathematik Qualifikationsphase gymnasiale Oberstufe.

Aber ich denke das ist eine reine Definitionssache. Wie habt ihr Grenzmatrix und Grenzverteilung definiert?

von 294 k
Fokus Mathematik Qualifikationsphase gymnasiale Oberstufe.

Ich habe mir das Buch gerade auf deren Internetseite angeschaut. Im Gegensatz zu den Büchern, die ich kenne (Lambacher Schweizer und Elemente der Mathematik) scheint es wirklich brauchbar zu sein. Deshalb vetraue ich der von dir wiedergegebenen Definition.

Wie habt ihr Grenzmatrix und Grenzverteilung definiert?

In Elemente der Mathematik taucht der Begriff nicht auf. Stattdessen steht dort so ein Blödsinn wie "Betrachtet man die Potenzen der Übergangsmatrix, so nähern sich die Spaltenvektoren der Übergangsmatrix immer mehr dem Fixvektor der Matrix an,"

Im Lambacher Schweizer wird der Begriff äquivalent zu der von dir gegebenen Definition verwendet, ohne deutlich zu machen, ob es sich um eine Defintion handelt oder nicht. Demanch genügt es, dass eine Potenz der Übergangsmatrix existiert, in der eine Zeile nur positive Einträge enthält. Ob das auch notwendig für die Existenz einer Grenzverteilung ist, bleibt offen.

Stattdessen steht dort so ein Blödsinn wie "Betrachtet man die Potenzen der Übergangsmatrix, so nähern sich die Spaltenvektoren der Übergangsmatrix immer mehr dem Fixvektor der Matrix an,"

Das ist ja eigentlich kein Blödsinn. Und bezieht sich sicher nicht auf alle Matrizen.

Ich persönlich hätte für denen Fall gesagt es gibt eine Grenzmatrix. Das wäre der Grenzwert für n gegen Unendlich von M^n.

Es gibt hingegen keine Grenzverteilung, weil die Spalten der Grenzmatrix nicht denselben Vektor darstellen.

So wäre meine persönliche Definition, wie ich sie auch etwas logischer finden würde. Zyklische Matrizen haben also keine Grenzmatrix.

Zyklische Matrizen haben also keine Grenzmatrix.

Sie haben aber einen Fixvektor. Bei der Matrix

        \(M := \pmatrix{0&{{2}\over{3}}&0&{{1}\over{5}}\cr {{1}\over{2}}&0&{{1}\over{4}}&0\cr 0&{{1}\over{3}}&0&{{4}\over{5}}\cr {{1}\over{2}}&0&{{3}\over{4}}&0}\).

lautet der zum Beispiel

        \(\vec{v_{\text{fix}}}:=\frac{1}{106}\cdot\pmatrix{19\\18\\34\\35}\).

Noch nicht ein mal die Spalten der Häufungspunkte

        \(\lim_{n\to\infty}M^{2n}=\pmatrix{{{19}\over{53}}&0&{{19}\over{53}}&0\cr 0&{{18}\over{53}}&0
&{{18}\over{53}}\cr {{34}\over{53}}&0&{{34}\over{53}}&0\cr 0&{{35
}\over{53}}&0&{{35}\over{53}}}\)

und

        \(\lim_{n\to\infty}M^{2n+1}=\pmatrix{0&{{19}\over{53}}&0&{{19}\over{53}}\cr {{18}\over{53}}&0&
{{18}\over{53}}&0\cr 0&{{34}\over{53}}&0&{{34}\over{53}}\cr {{35
}\over{53}}&0&{{35}\over{53}}&0}\)

stimmen mit dem Fixvektor überein. Die Aussage nenne ich deshalb Blödsinn. Dass solche Matrizen im Buch nicht auftauchen, ist keine Entschuldigung.

Ich persönlich hätte für denen Fall gesagt es gibt eine Grenzmatrix. Das wäre der Grenzwert für n gegen Unendlich von Mn.

Das wäre auch meine Meinung. Grenzmatrix ist Grenzwert der Matrix, klingt einleuchtend.

Es gibt hingegen keine Grenzverteilung, weil die Spalten der Grenzmatrix nicht denselben Vektor darstellen.

Das klingt weniger einleuchtend. Man könnte analog zur Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen argumentieren, dass eine Grenzverteilung, nur dann existiert, wenn jede Verteilung gegen diese konvergiert.

Man könnte analog zur Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen argumentieren, dass eine Grenzverteilung, nur dann existiert, wenn jede Verteilung gegen diese konvergiert.

Ist das nicht immer der Fall wenn die Grenzmatrix aus gleichen Spaltenvektoren besteht?

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