Lineare Algebra (Matrizen in Verbindung mit einer Geraden)

Question

$$\begin{array} { l } { \text { Es wird geometrisch! Seien } V : = \mathbb { R } ^ { 2 } \text { und } v \in V \backslash \left\{ 0 _ { V } \right\} } \\ { \text { (a) Zeigen Sie: Ein Vektor } u \in V \text { liegt in } \langle v \rangle _ { \mathrm { R } } \text { genau dann, went entsprechende Punkt } u \in \mathbb { R } ^ { 2 } \text { auf } } \\ { \text { der Geraden durch den Punkt } v \in \mathbb { R } ^ { 2 } \text { und } ( 0,0 ) \text { liegt. } } \end{array}$$ $$\begin{array} { l } { \text { (b) Sei } \alpha \in \operatorname { End } ( V ) \text { durch folgende Abbildungsmatrix bezüglich der geordneten Standardbasis für } V } \\ { \text { gegeben: } } \\ { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { \text { Wohin wird die Gerade durch } ( 0,0 ) \text { und } ( 1,1 ) \text { von } \alpha \text { abgebildet? } } \end{array}$$

(Zur Argumentation darf zusätzlich ein Bild gemalt werden)

Problem/Ansatz:

Definition der Geraden

Seien n Element N,v1,v2 Element R^n mit v1 ungleich v2.

Dann ist die Gerade durch v1 und v2 gegeben durch: [v1+Lambda(v2-v1)|Lamdba Element R].

Answer 1

 u∈V liegt in ⟨v⟩_R

<==>  Es gibt x ∈ ℝ mit u = x*v

<==> Es gibt x ∈ ℝ mit u = 0 + x*(v -0)

<==> u liegt auf der Geraden durch v und (0,0).

b)Die Gerade durch  (0,0) und (1,1) besteht aus den Punkten ( t,t) mit t∈ℝ.

0   1    *    t    =    t
-1  0         t           -t

und (t;-t) sind die Punkte auf der Geraden durch (0;0) und ( 1;-1).

Die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten wird also um 90° um (0;0) gedreht.

und dabei auf die Winkelhalbierende des 2. und 4. Quadranten abgebildet.

Comments

Danke für deine schnelle Antwort :)

Ich komme noch nicht ganz mit dem ersten Teil klar. Wie kannst du daraus folgern,dass u auf der Geraden durch v und (0,0) liegt?

Beim zweiten Teil verstehe ich die Rechnung mit dem t nicht.

Fehlen dort einige mathematische Rechenzeichen?

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Den zweiten Teil habe ich jetzt verstanden.

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Du hattest doch die Vorgabe

Dann ist die Gerade durch v1 und v2 gegeben durch: [v1+Lambda(v2-v1)|Lamdba Element R].

Bei mir ist das Lambda eben ein x.